Direkte Proportionalität

Die lineare Funktion ist die Funktion der direkten Proportionalität. Jeder direkt proportionale Zusammenhang lässt sich durch eine lineare Funktion beschreiben, dabei heißt k Proportionalitätsfaktor.

1.
Ein Liter Wein kostet in einem Geschäft 3€. Derselbe Wein kostet beim Weinhauer 2,4€ pro Liter. Die Fahrt zum Weinhauer verursacht Unkosten von 18€. 
a) Ermittle Terme und Graphen der Kostenfunktionen für beide Möglichkeiten des Weinkaufes.
b) Welche Menge Wein muss man kaufen, damit sich eine Fahrt zum Weinhauer lohnt?
c) In Hinblick auf den Zeitaufwand bei der Fahrt zum Weinhauer soll der Weinkauf dort - abgesehen von den Fahrtkosten - um mindestens weitere 15€ billiger sein. Wie viel Wein muss man dann mindestens beim Weinhauer kaufen?

Beispielhafte Lösung (ohne Antworten):

2.
Jemand erhält einen Stromanschluss und kann zwischen zwei Tarifen wählen. Entweder er zahlt monatlich 8 € Grundgebühr und dann für jede verbrauchte Kilowattstunde Strom 0,1 € oder er zahlt keine Grundgebühr und für jede Kilowattstunde 0,180 €.
a) Ermittle Terme und Graphen der Kostenfunktionen für beide Möglichkeiten. 
b) Bei welchem monatlichen Stromverbrauch sind die Kosten in beiden Fällen gleich?
c) Bei welchem monatlichen Verbrauch ist der Preisunterschied 10€?
d) Bei welchem monatlichen Verbrauch beträgt der Preisunterschied mehr als 20€ ?

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3.
Jemand nimmt 6800 € in den Urlaub mit und gibt täglich 400 € aus. Sein Geldvorrat nach x Tagen sei f(x).
a) f ist durch einen Term und durch einen Graphen darzustellen.
b) Wie groß ist der Geldvorrat nach 12 Tagen?
c) Nach wie viel Tagen ist das Geld verbraucht? Welche Bedeutung hat diese errechnete Stelle für die Funktion mit f(x)?
d) Inwiefern entspricht die Angabe dieser Aufgabe nicht der Wirklichkeit und stellt also eine ldealisierung dar?

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4.
Ein Betrieb erzeugt Baustoffe. Die Kosten für die Erzeugung eines keramischen Steines betragen 2€. Dazu kommen jährlich noch fixe Kosten von 12000€ (zum Beispiel Instandhaltung der Erzeugungsanlage, Betriebskosten). Ein Stein wird um 3€ verkauft.
a) Ermittle den Term K(x) und den Graphen der Funktion der Gesamtkosten der Herstellung von x Steinen (jährlich).
b) Ermittle den Term E(x) und den Graphen der Funktion des Verkaufserlöses bei x Steinen (jährlich).
c) Ermittle zeichnerisch und rechnerisch, wie viele Steine die Firma erzeugen und verkaufen muss, damit sie einen Gewinn erzielt. (Gewinnschwelle)
d) Bei welcher Produktion ist der Gewinn 20000€ ?

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5.
Temperaturen werden bei uns in °C (Celsius), in einigen Ländern in°F (Fahrenheit) gemessen. Einer Zunahme der Temperatur um 1 ⁰C entspricht eine Zunahme um 9/5 °F. Bei 0 °C zeigt das Thermometer 32 ⁰F.
a) Ermittle den Term und den Graphen der Funktion, die jedem Wert x °C den entsprechenden Wert f(x) °F zuordnet.
b) Bei wie viel °C  zeigt das Thermometer 150 °F ?
c) Bei wie viel °C zeigt das Thermometer gerade doppelt so viele Grade F?

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6.
Von den Endpunkten einer 40 km langen Strecke bewegen sich ein Radfahrer und ein Fußgeher einander entgegen. Der Radfahrer bricht um 8 Uhr auf und hat eine Geschwindigkeit von 15 km/h, der Fußgeher bricht schon um 6 Uhr früh auf und hat eine Geschwindigkeit von 5 km/h
a) Bestimme die Zeit-Weg-Funktionen (Terme und Graphen).
b) Ort und Zeit des Treffens sind zeichnerisch und rechnerisch zu bestimmen. 
c) Wann trifft jeder am anderen Endpunkt der Strecke ein ?
d) Wann sind beide 15 km voneinander entfernt, und wo befinden sich beide zu diesen Zeitpunkten?

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7.
Wenn der Stückpreis einer Ware steigt, dann sinkt meist der Absatz (die "Nachfrage"). Im einfachsten Fall nimmt man einen linearen Zusammenhang an. 
Von einem bestimmten Produkt werden in einem gegebenen Zeitraum 1000 Stück verkauft, wenn der Stückpreis 36 € beträgt. Bei einem Stückpreis von 42 € werden nur 700 Stück verkauft.
Ermittle den Term der Nachfragefunktion, wobei x den Absatz (in Stück) und n(x) den Verkaufspreis bedeutet. 
Wie groß ist der zu erwartende Absatz beim Stückpreis 38 €, wie groß bei 50 €?
Bei welchem Stückpreis bleibt der Kaufmann auf seiner ganzen Ware "sitzen"? Wie viel Stück können höchstens "verkauft" werden? Zeichne dazu auch den Graphen der Nachfragefunktion.

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8.
Ein Kopiergerät wird um 68 00 € angeschafft. Die Nutzungsdauer beträgt fünf Jahre, dann hat das Gerät noch den Restwert 10 00€. Bestimme den Term der Funktion, die den Wert des Gerätes nach x Jahren angibt, wobei eine lineare Wertminderung angenommen wird.

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