Empirische Funktionen

1. Untersuchen von Funktionsgraphen

Vielfach werden Funktionen durch empirische (= durch Erfahrung gewonnene) Daten gebildet. Man nähert die Daten die sich aus dem Experiment ergeben durch eine "passende " Kurve oder Funktionslinie an. In den folgenden Arbeitsblättern sind derartige Beispiele aufgeführt. Alle Fragestellungen beziehen sich immer auf die eingezeichneten Linienverläufe. Neben diesen ist oft noch die Menge der empirischen Datenpunkte eingetragen.
Bearbeite diese Arbeitsblätter in Gruppen.

Arbeitsblatt 1  Arbeitsblatt 2  Arbeitsblatt 3  Arbeitsblatt 4  Arbeitsblatt 5  Arbeitsblatt 6  Arbeitsblatt 7

2. Analysieren und Auswerten 2-dimensionaler Zusammenhänge

Der Durchhang ist abhängig von der Temperatur. Um diesen Zusammenhang zwischen 2 Datenreihen zu untersuchen stellen wir die Daten graphisch dar. Für die Eingabe mit Derive haben wir folgende Gesetzmäßigkeiten zu berücksichtigen:

1. Punkte müssen in der Form [x,y] eingegeben werden.

2. Mehrere Punkte können in der Form [[x1,y1],[x2,y2],x3,y3],.....[xn,yn]] eingegeben werden.

3. Einfacher wird die weitere Arbeit durch Zuordnung zu einem Namen

Punkte:=[[x1,y1],[x2,y2],x3,y3],.....[xn,yn]]

4. Anstelle der inneren Klammern kann man auch mit Strichpunkten arbeiten:

Die derart eingegebenen Daten erscheinen als Matrix = " rechteckiges Schema " . Dabei bedeutet jede Zeile einen Punkt .

Den Einstellungen im Grafikfenster (F11) entsprechend werden die erhobenen Daten als Punkte in einem 2-dimensionalem Koordinatensystem gezeichnet.

Die Analyse der Daten lässt darauf schließen, dass der Verlauf in gewisser Weise einer Gesetzmäßigkeit folgt - wir fragen nun nach dieser Gesetzmäßigkeit. Wenn wir diese finden können wir auch nicht erhobene Zusammenhänge feststellen ( Prognose ) !! Derive stellt dafür die Funktion FIT zur Verfügung. Diese verlangt eine Matrix deren 1.Punkt der Form [x, f(x)] ist. Derive versucht dann eine Kurve mit Gleichung y=f(x) zu finden, deren Graph möglichst wenig von den geg. Punkten abweicht !

Da hier offensichtlich kein geradliniger => linearer Verlauf erkenn bar ist. versuchen wir es mit einer Parabel. Diese hat als Grundgleichung

f(x):=ax²+bx+c

Die Koeffizienten a,b,c bestimmen dabei über den Verlauf dieser Kurve. Mit der nachfolgenden Eingabe teilen wir Derive mit die in der Matrix festgelegten Punkte durch die im ersten Punkt definierte Funktion zu nähern.

Wenn man diesen Ausdruck vereinfacht erhält man:

Nun definieren wir dies als Funktion von x und ordnen für weitere Untersuchungen einen Namen zu :

Zeichnet man nun die erhaltene Kurve so ergibt sich:

Wir sehen, dass sich die mit FIT ermittelte Kurve sehr gut an die Daten " anschmiegt " !

Die Kurvenpunkte können mit einer gewissen " Unschärfe " (die hier allerdings als sehr klein erscheint) zum Abschätzen von Zwischenwerten verwendet werden. So wurde kein Datenpunkt mit Temperatur  x=23 gemessen, trotzdem können wir aus der Kurve einen Wert für den Durchhang ermitteln:

Hausübung: Analysiere nun analog weitere Beispiele:

Stelle den notwendigen Durchhang d eines Seiles für die angegebene Spannweite als Funktion der Temperatur in Form des Funktionsgraphen dar! Achte auf eine sachgerechte Darstellung! Inter.
pretiere die Monotonie der Funktionen! .

Stelle den notwendigen Durchhang d eines Seiles bei einer vorgegebenen Temperatur als Funktion der Spannweite in Form des Funktionsgraphen dar! Achte auf eine sachgerechte Darstellung! Interpretiere die Monotonie der Funktionen!

Gib die Abhängigkeit des Lichtstromes (in Lumen) von der Lampenleistung (in Watt) einer Leuchtstofflampe des angeführtE1n Typs in Form eines Funktionsgraphen an! Achte auf eine sachgerechte Darstellung! Interpretiere die Monotonie der Funktionen!