Indirekte Proportionalität

EX1:
Ein Testfahrzeug bewegt sich gleichförmig auf einer 200 m langen Teststrecke. Die zum Zurücklegen der Strecke erforderliche Zeit hängt von der Geschwindigkeit des Fahrzeuges ab. Bei v = 5 m/s beträgt diese Zeit 40 s .Wir stellen die Funktion auf, die jeder Geschwindigkeit v eine Zeit t(v) zuordnet:

Wir überlegen:

Wegen t=200/v gilt 200 = v*t. Das Produkt der beiden betrachteten Größen ist konstant !

Die Funktionsgleichung kann daher etwa als  t(v):=200/v   definiert werden, tabelliert und gezeichnet werden:

Aufstellen einer Wertetabelle:
bulletOhne Beschriftung - zum Zeichnen :  WERTE(start, ende, abstand) := VECTOR([x, T(x)], x, start, ende, abstand)
bulletoder WERTE(start, ende, abstand) := TABLE(T(x), x, start, ende, abstand)
bulletMit Beschriftung für Textausgabe:TABELLE(start, ende, abstand) := APPEND([ x ,T(x) ], WERTE(start, ende, abstand))
bulletHinweis: Der Vektor [x,t(x)] muß als [[x,t(x)]] eingegeben werden !!

 
Der Verlauf der Kurve entspricht einer Hyperbel.

 


DN: Produktgleiche Größen heißen indirekt proportional. Der Zusammenhang wird durch die Gleichung    beschrieben.

In unserem Fall ist a = 0 und d = 0.

Merke: Direkt proportionale Größen sind quotientengleich, indirekt proportionale Größen sind produktgleich.

Daher:

Direkt proportional Indirekt proportional
y/x = k x*y=c
Der Proportionalitätsfaktor k wird aus einem bekannten Paar (x,y) bestimmt! Der Proportionalitätsfaktor c wird aus einem bekannten Paar (x,y) bestimmt!

 

Bearbeite jetzt genauso:

EX2:
In einem Internat kommt man mit einem Mehlvorrat von 720 kg je nach dem täglichen Verbrauch verschieden lang aus. (Bei einem täglichen Verbrauch von 12 kg kommt man beispielsweise 60 Tage lang aus.)
a) Jedem Tagesverbrauch x wird die Zeit t(x), die man auskommt, zugeordnet.  Stelle die Funktion mit t(x) durch einen Term und durch einen Graphen dar.
b)   Wie lange kommt man bei einem Tagesverbrauch von 16 kg aus?
c)   Bei welchem Tagesverbrauch kommt man 24 Tage aus?
d)   Welche Proportionalität liegt hier vor und welche Idealisierungen liegen dieser g zugrunde?

EX3:
Das Boyle-Mariottsche Gesetz besagt: Bei gleichbleibender Temperatur ist das Volumen eines idealen Gases zum Druck indirekt proportional. Eine Gasmenge von 200 cm3 steht bei einer gegebenen gleichbleibenden Temperatur unter dem Druck von 1000 mbar.
a) Stelle die Funktion, die jedem Druck p das Gasvolumen V(p) zuordnet, durch einen Term und durch einen Graphen dar.
b) Bei welchem Druck beträgt das Volumen 20 cm3?
c) Wie groß ist das Volumen beim Druck 400 mbar?

EX4:
Für die Gesamtkosten K(x) bei der Erzeugung von x Geräten in einem Betrieb gilt K(x) = 12000x + 450000.

Die Stückkosten für die Erzeugung eines Gerätes betragen:


S(x) heißt Stückkostenfunktion. Erstelle eine Tabelle und zeichne den Graphen !

EX5:
K0(x) = 18000x, K1(x) = 15000x + 200000, K2(x) = 10000x + 400000.

Erstelle die zu den gegebenen Funktionen gehörenden Stückkostenfunktionen (Terme, Graphen).     
a) Erkläre das Ergebnis bei S0(x).
b) Welche Werte können die Stückkosten jeweils nicht unterschreiten?
c) Bei welcher Produktion x wären die Stückkosten K1(x) und K2(x) gleich? Wie ändern sich die Stückkosten bei den drei Produktionen, wenn die Produktion x stark absinkt? Vergleiche insbesondere mit der kapitalintensiveren Produktion nach K2.