Die lineare Funktion

Satz: Der Graph einer linearen Funktion ist eine Gerade

Bew:

Für je 2 Punkte der Funktion gilt

Da das Seitenverhältnis gleich bleibt liegen ähnliche Dreiecke vor, d.h. alle Punkte liegen auf einer Dreiecksseite.

Zeichnen der linearen Funktion:

Satz:  Die lineare Funktion enthält den Punkt P ( a / b+d) und den Punkt Q ( 0/d)

Arbeitsaufgabe:    Zeichne     a)  y = 3/4 x + 3           b) y = -2/5 x - 2

Aufstellen von Geradengleichungen

Die Gleichung der Normalen

Dreht man eine Gerade um 90° dann dreht sich das Steigungsdreieck mit  - k = b/a wird zu k_n= a/(-b) = - ( a/b )

Die Gleichung der Normalen zu  lautet daher :

Arbeitsaufgabe: Bestimme die Normale zu  a)  y = 3/4 x + 3           b) y = -2/5 x - 2

Die Gleichung der Parallelen

Parallele Gerade haben die gleiche Steigung daher ist  y=k x+d parallel zu  .

Die Konstante d₁   muss aus Zusatzbedingungen bestimmt werden. 

Arbeitsaufgabe: Bestimme die Parallele  zu  a)  y = 3/4 x + 3   durch (7/1)            b) y = -2/5 x - 2     durch (-3/2)

Sonderfälle

Arbeitsaufgabe: Dokumentiere diese Sonderfälle in einer Tabelle:   Lage    Gleichung

Punkt Richtungsform

Für jeden Punkt (x/y) der Geraden  gilt

Arbeitsaufgabe: Bestimme die Parallele  zu  a)  y = 3/4 x + 3   durch (7/1)            b) y = -2/5 x - 2     durch (-3/2)

Zwei Punkt Form

Setzt man anstelle von (x/y)  (x2/y2) erhält man

Arbeitsaufgabe:

Bestimme die Gleichung der Geraden durch  P(2/4) und Q (7/1)    

Bestimme die Gleichung der Geraden durch  P(-2/4) und Q (-1/1)    

Abschnittsform

Kennt man die Abschnitte c und d die die Gerade auf den Achsen abschneidet so kann man über die 2-Punktform sofort die Gleichung herleiten

Dazu setzt man einfach die 2 Punkte (0/d) und (c/0) in die 2-Punktform ein.

Arbeitsaufgabe: Bestimme die Gleichung der Geraden die auf den Achsen 3  und 4 abschneidet!

Unbestimmter Ansatz

Zur Bestimmung der Geradengleichung kann man auch die Gleichung y= kx+d verwenden und ein System mit den zu bestimmenden Größen bilden :

EX: Bestimme die Gleichung durch A(2/5) und B(7/12)

1. Wir definieren die allgemeine Geradengleichung:

2. Wir setzen die Punkte ein:

3. Wir erstellen ein Gleichungssystem mit [#...,#...]

4. Mittels Lösen-Gleichungssystem erhalten wir die Lösungen

5. Jetzt werden die Lösungen zugeordnet:

6. Dann wird #1 vereinfacht:

Schnittpunkt von Geraden

Um 2 Geraden zu schneiden genügt es das Gleichungssystem [gleichung1,gleichung2] zu lösen. Die Gleichungen kann man mit #Nr oder F3 übernehmen. man kann aber auch die Gleichungen einem Namen zuordnen:

Zunächst definiert man Namen für die Gleichungen:

Dann kann man die Gleichungen über ihren Namen aufrufen:

Lösen - auf diesen Ausdruck angewandt - liefert jetzt:

Mittlere Änderung:

Dividiert man die Änderung der y-Werte  ( y₂-y₁) durch die entsprechende Änderung der zugehörigen x-Werte (x₂ - x₁) so erhält man die sogenannte mittlere Änderung der y- Werte im Intervall [x₁,x₂] Die mittlere Änderung der linearen Funktion ist konstant:

Es seien P1 (x₁,y₁) und P2 (x₂,y₂) beliebige Punkte auf der Geraden:

mittels ( Programmiere mit Derive: )

kann man Änderungen zwischen (x1/y1) und (x2/y2) ermitteln. Du kannst mit beliebig gewählten Punkten auf einer Geraden die Änderung berechnen.

Aufgabe: