Es gibt im wesentlichen zwei Möglichkeiten, eine bestimmte Menge zu spezifizieren. Einmal, indem wir alle ihre Elemente angeben (falls dies möglich ist). Zum Beispiel ist

A ={a,e,i,o,u}

die Menge A deren Elemente die Buchstaben a, e, i, o, u sind. Beachte, dass die einzelnen Elemente durch Komma getrennt sind und innerhalb geschweifter Klammern stehen. Als zweite Möglichkeit haben wir die Eigenschaft anzugeben, die die Elemente einer Menge charakterisieren. Zum Beispiel ist

B = {x : x ist eine ganze Zahl, x > 0}

(lies: "B ist die Menge aller x mit der Eigenschaft: x ist eine ganze Zahl, größer als Null") die Menge B aller natürlichen Zahlen. Ein Buchstabe, im allgemeinen x, bezeichnet ein typisches Element der Menge; der Doppelpunkt beinhaltet "mit der Eigenschaft' und das Komma trennt verschiedene Eigenschaften (heißt also "und").

Zwei Mengen A und B heißen gleich, geschrieben A = B, Wenn sie genau dieselben Elemente besitzen, d.h., falls jedes Element von A auch in B liegt und jedes Element von B in A. Die Negation von A = B schreiben wir A ≠ B.

 Beachte, dass es egal ist, wie die Elemente einer Menge angegeben sind. Eine Menge bleibt gleich, wenn man gewisse Elemente anders anordnet oder einige wiederholt notiert.

Mengen können endlich oder unendlich sein. Dabei heißt eine Menge endlich, falls sie genau n verschiedene Elemente besitzt, wobei n eine natürliche Zahl ist, im anderen Fall heißt sie unendlich.

Beispiel : Es sei M die Menge aller Wochentage:

M = { Montag, Dienstag, Mittwoch, Donnerstag, Freitag, Samstag, Sonntag} Dann ist M endlich.

Beispiel : Es sei Y= {2, 4, 6, 8, .... }Dann ist Y unendlich.

Beispiel : Es sei P= ( x: x ist ein Fluss ). Obwohl es schwierig sein mag, die Anzahl aller Flüsse anzugeben, ist P eine endliche Menge.

Eine Menge A ist genau dann Teilmenge einer Menge B bzw. B ist Obermenge von A, geschrieben
oder wenn jedes Element in A auch in B liegt; d.h., . Wir sagen auch, dass A in B enthalten ist. Die Negation von   ,geschrieben

beinhaltet: Es gibt ein

Wie wir eben gesehen haben, schließt nicht den Fall A = B aus. Die Definition der Gleichheit von Mengen lässt sich jetzt folgendermaßen neu formulieren:

Definition:  Zwei Mengen A und B sind gleich, falls und

Im Falle   und A ≠ B sagen wir, dass A eine echte Teilmenge von B ist.

Der folgende Satz ergibt sich sofort aus den vorangegangenen Definitionen:

Satz: Es seien A, B und C Mengen.

UNIVERSELLE MENGEN UND LEERE MENGEN

Im Rahmen unserer Betrachtungen über Mengen werden alle Mengen als Teilmengen einer festen Menge betrachtet. Diese Menge nennen wir die universelle Menge und bezeichnen sie (in diesem Kapitel) mit U

Beispiel : In der ebenen Geometrie ist U die Koordinatenebene.

Beispiel : Bei der Bevölkerungsstatistik ist U die Menge aller Menschen.

Wir führen weiter den Begriff der leeren Menge oder Nullmenge ein, das ist eine Menge, die keine Elemente besitzt. Diese Menge, geschrieben Φ wird als endlich und als Teilmenge jeder anderen Menge betrachtet. Für jede Menge A gilt also:

KLASSEN, FAMILIEN

Oft sind die Elemente einer Menge selber Mengen. So ist etwa jede Gerade in einer Menge von Geraden eine Punktmenge. Um in solchen Fällen die Situation besser beschreiben zu können, benutzt man die Ausdrücke "Klasse" und "Familie". Im allgemeinen wollen wir Klasse für eine Menge von Mengen benutzen und Familie für eine Menge von Klassen. Die Ausdrücke Teilklasse und Teilfamilie entsprechen dem Begriff  Teilmenge.

MENGENVERKNÜPFUNGEN

Es seien A und B zwei Mengen. Die Vereinigung von A und B ,  in Zeichen , ist die Menge aller der Elemente, die zu A oder zu" B gehören:

Der Durchschnitt von A und B, in Zeichen  ist die Menge aller der Elemente, die zu A und zu B gehören:

Gilt haben also A und B keine gemeinsamen Elemente, dann nennen wir die Mengen disjunkt.

Die Differenz von A und B (das relative Komplement von B bezüglich A), geschrieben A \ B, ist die Menge, die aus den Elementen besteht, die in A aber nicht in B enthalten sind:

Offensichtlich sind A\B und B disjunkt:

Das absolute Komplement oder einfach das Komplement von A, das wir mit A'  oder A^c bezeichnen, ist die Menge

A' ist also die Differenz der universellen Menge U und A.

Satz: Für die oben erklärten Verknüpfungen von Mengen gelten die in Tabelle 5.1 aufgeführten Gesetze und Identitäten.

GESETZE DER MENGENALGEBRA

 

GEORDNETE PAARE

Ein geordnetes Paar besteht aus zwei Elementen, etwa a und b, von denen eines, etwa a, als erstes gekennzeichnet ist und das andere als zweites. Ein geordnetes Paar notieren wir folgendermaßen: (a, b)

Zwei geordnete Paare (a, b, ) und (c, d) sind genau dann gleich, wenn a = c und b = d.

Bemerkung: Ein geordnetes Paar lässt sich folgendermaßen exakt definieren:

(a, b) ={{a},{a,b}} wobei wesentlich ist, dass  , womit a als erstes Element gekennzeichnet ist.

Mit Hilfe dieser Definition lässt sich folgende fundamentale Eigenschaft geordneter Paare herleiten:

(a, b) = (c, d) genau dann, wenn a = c und b = d

PRODUKTMENGEN

Es seien A und B zwei Mengen. Die Produktmenge von A und B, geschrieben A X B, ist die Menge aller geordneter Paare (a, b) mit a G A und b c= B:

Das Produkt einer Menge mit sich selber, also A x A, bezeichnen wir auch mit A².

Besitzt allgemein die endliche Menge A genau s Elemente und B genau t Elemente, so besitzt A X B genau s.t Elemente. Ist entweder A oder B leer, dann ist auch A X B leer. Ist schließlich A oder B unendlich und keine der beiden Mengen leer, so ist A X B auch unendlich.

PRODUKTMENGEN ALLGEMEIN

Der Begriff der Produktmenge lässt sich auf natürliche Weise für mehr als zwei Mengen erklären. Das Kartesische Produkt von Mengen A, B, C geschrieben A X B X C, besteht aus allen geordneten Tripeln (a, b, c) mit

Hierbei besitzt ein geordnetes n-Tupel die offensichtliche intuitive Bedeutung: Es besteht aus n Elementen, die nicht notwendigerweise verschieden sein müssen, von denen eines als erstes gekennzeichnet ist, ein weiteres als zweites, usw.

Mengenalgebra mit Derive:

Die nachfolgenden Beispiele zeigen wie man mit Derive Mengenalgebra betreiben kann: