Parameterformen

Bis jetzt haben wir eine gerade Linie immer in geschlossener Form - als lineare Gleichung in 2 Variablen dargestellt.  Diese Darstellung ist jedoch nicht immer geeignet:

Wenn wir die Gerade durch die 2 Punkte A ( 0/2) und (5/4) zu bestimmen haben bekommen wir mit der 2 Punktform sofort:

Andererseits kann man diese Gerade aber auch durch

darstellen.

Wenn man t nicht als Zeit sondern einfach als frei wählbare Größe betrachtet so spricht man von einem Parameter

Betrachten wir nochmals wie man mit Hilfe von Vektoren und einem Parameter eine Gerade beschreiben kann:

Video: filme\para0001.avi

Du kannst auch selbst experimentieren: vektorielle Gerade

Wie geht das nun mit Derive:

Video: filme\para0002.avi

DN: Eine vektorielle Gleichung der Form    heißt Parameterform, l heißt Parameter.

Satz: Eine Parameterform mit einem reellen Parameter in R² beschreibt eine Gerade.

Grundaufgaben:

1. Gerade durch 2 Punkte:

Es sei A (2/3)   B( 7/-1)

Dann ist der Stützvektor  sv:=A und der Richtungsvektor rv:=b-a=(5/-4)  und daher lautet die Geradengleichung  g(t):=sv+ t* rv

2. Richtungsvektor aus der impliziten Form bestimmen und umwandeln der impliziten Form in die Parameterform

a) Es sei die Gerade 2x+y=4 gegeben.

Wir formen um: y=-2x+4   also k=-2  => rv:=(1/-2)   sv:=(0/4)

b) Es sei die Gerade y=2/3x-2  gegeben also k=2/3  => rv:=(3/2)    sv:=(0/-2)

3. Parameterform in eine implizite oder parameterfreie  Form verwandeln:

Es sei  g(t):=(3/5)+t(3/4)  => k=4/3    also ist y=4/3x+d. Wegen sv auf der Geraden folgt 5=4/3*3+d  => d=1  => y=4/3x+1

Andere Variante: Wir stellen die Parameterform durch Koordinatengleichungen dar und kombinieren diese so, dass der Parameter verschwindet:

Übungen:

1. Berechne, welcher Punkt X der Geraden  durch den Parameterwert (1) t = 3, (2) t = 1, (3) t = - 2, (4) t =0 festgelegt wird! Zeichnung!
X = (2/1) + t  (- 1/3)

2. Berechne die fehlende Koordinate des auf g liegenden Punktes P

X=(2/-1)+t(1/2)     (1) P(3/.)     (2)P(O/.)     (3)P(./-1)

3. Ermittle die Koordinaten eines zweiten Punktes der Geraden  und zeichne diese!
 X=(1/-2)+t(0/-1)

4. Stelle die Gerade parameterfrei dar  ( Kontrolle durch Zeichnung )

a) X= (2/5) + t(-1/3)        b) X= ( -2/6) + t (3/-2)

5. Gib eine Parameterdarstellung (1) der zu g parallelen Geraden, (2) der zu g orthogonalen Geraden durch den Punkt P an!
X = (2/-2) +t. (- 1/2),  P(3/2)