Die allgemeine quadratische Funktion

Aufgabe: Untersuche die Auswirkung der Parameter a,b,c auf die Funktion y=ax²+bx+c

Zunächst überlegen wir durch Variation der Parameter in der Kurve y = k ( x-m)²+n dass der Scheitel immer in S ( m / n ) liegt.

<Untersuche mit Geogebra

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Durch geschicktes Umformen kann man den Scheitel der Parabel y=ax²+bx+c bestimmen und hat somit den tiefsten bzw. höchsten Wert gefunden.

Offensichtlich ist also

<Erklärung

Dies kann zur Lösung von Optimierungsaufgaben eingesetzt werden. Man stellt den Sachverhalt durch eine Funktion dar von der man das Maximum oder Minimum zu bestimmen hat. Dies befindet sich aber immer im Scheitel wenn eine Polynomfunktion 2. Grades vorliegt. Wenn man daher den Scheitel berechnen kann dann kennt man auch den gesuchten Wert! Solche Probleme werden daher auch oft Scheitelwertprobleme genannt.

Vorgangsweise:

1. Bestimme die Gleichung der Funktion die das Problem beschreibt
   Dazu benötigst du möglicherweise eine oder mehrere zusätzliche Bedingungen, wenn die Funktion von mehr als einer Variablen abhängt.

2. Suche nun den Scheitel dieser Parabel, er gibt das Maximum bzw. Minimum an.

1.
Für den Inhalt A eines Kreises vom Radius r gilt A(r) = r²p.

1. Zeichne den Graphen dieser Funktion.

2. In welchem Intervall liegt A(r), wenn r um höchstens 2% von 5 abweicht?

3. In welchem Intervall liegt umgekehrt r, wenn A(r) um höchstens 5% von 100 abweicht?

4. Bestimme die mittlere Änderung k pro Einheit zwischen r = 0 und r = 5. Welche Bedeutung hat hier k?

  2.
Bestimme rechnerisch den Scheitel der Parabel mit Zeichne den Graphen und bestimme k zwischen x = 0 und x =4

<Berechnung    <Derive Lösung   <Geogebra Lösung

3.
Der Stückpreis einer Ware beträgt 13,5 GE (Geldeinheiten). Die Kostenfunktion für die Herstellung von x Stück sei . Für wie viel Stück betragen die Kosten 180 GE? Wie lauten die Gleichungen der Erlösfunktion und der Erfolgsfunktion (Gewinnfunktion)? In welchem Bereich kann ohne Vertust verkauft werden? Bei welcher Menge x wird der maximale Gewinn erzielt?

4.
Der Stückpreis n(x) einer Ware ist variabel; es gilt:   für 0 <x <68.  Wie lautet die Gleichung der Erlösfunktion? Bei welcher Menge x wird der maximale Erlös erzielt?

Die Kostenfunktion ist linear:  K(x) = 5x + 500. Bestimme die Gleichung der Erfolgsfunktion (Gewinnfunktion). In welchem Bereich wird ohne Verlust verkauft? Bei welcher Menge x wird der maximale Gewinn erzielt?

<Lösung

5.
Das Bremsen eines Autos wird beschrieben durch s(t)=32 t — 2 t² . ( Überlagerung einer gleichförmigen Bewegung und einer gleichmäßig verzögerten Bewegung). Tabelliere die Funktion im Bereich [0; 8] und zeichne den Graphen. Ermittle die mittlere Änderung k zwischen t = 0 und t = 3 sowie zwischen t = 3 und t = 6. Zeige rechnerisch dass  s(t) den maximalen Wert für t = 8 annimmt, des heißt dass sich das Auto nur bis zu dieser Zeit vom Anfangspunkt entfernt (und dann zum Stillstand kommt). Ermittle den zugehörigen Weg, den sogenannten Bremsweg.

<Lösung

6.
An einer Mauer soll ein rechteckiger Platz durch einen Drahtzaun abgegrenzt werden. Es stehen 24 m Drahtzaun zur Verfügung; der Platz soll möglichst groß sein. Wie sind die Abmessungen zu wählen ?

7.
Ein 20 cm langer Draht wird zu einem Rechteck zusammengebogen. Für welche Abmessungen ist der Rechtecksinhalt am größten ?

8.
Die Flugbahn eines Körpers beim schiefen Wurf wird durch den Graphen der Funktion mit f(x) = - 0,01 x² + x beschrieben. f(x) bedeutet hier die jeweilige Höhe, x die horizontale Entfernung. In welcher horizontalen Entfernung x wird a) die Höhe 20 erreicht; b) der höchste Punkt erreicht?