Wir finden x1=2 und x2 =
-3 daher:Quadratische Ungleichungen
Fallweise treten Ungleichungen höherer Ordnung auf. Um diese lösen zu können muß man das Polynom auf 0 vergleichen und in ein Produkt von Linearfaktoren zerlegen ( was in R nicht immer gelingt wie wir wissen ! ) . Dabei verwenden wir den Zerlegungssatz.
Jedes Polynom 2. Ordnung mit Nullstellen x1 und x2 in R kann als k( x - x1 )( x - x2 ) dargestellt werden.
Für die weitere Untersuchung benötigen wir nur die Vorzeichenregel für Produkte :
Ein Produkt ist negativ wenn es eine ungerade Anzahl von negativen Faktoren enthält
Bestimme die Lösungen der quadratischen Gleichung
Stelle die Ungleichung in der Form k( x - x1 )( x - x2 ) <0 bzw. >, ≥ , ≤ 0 dar.
Bestimme aus der Vorzeichenregel die zu lösenden Systeme ( genau 2! )
Löse jedes System => L1, L2
Bestimme die Vereinigungsmenge der Teillösungsmengen.
Beispiel 1 :
Wir finden x1=2 und x2 =
-3 daher:
Da ein Produkt nur dann
>0 ist wenn entweder beide Faktoren positiv sind oder beide Faktoren negativ
sind folgen 2 Fälle:
oder
Die Lösungsmenge liegt hier bereits vor !
Beispiel 2
Wir finden x1= -1 und x2 = 2 daher:
Da ein Produkt nur dann <0 ist wenn beide Faktoren verschiedenes Vorzeichen haben folgen 2 Fälle:
