Quadratische Gleichungen

Wiederhole:

Mit Derive kann man derartige Ausdrücke zu Kontrollzwecken sehr einfach überprüfen - man wählt dazu den Menüpunkt Ausmultiplizieren

Man kann aber auch ohne Menü arbeiten:

1. Vollständige Quadrate

Ein Ausdruck obiger Form kann als vollständiges Quadrat bezeichnet werden.

EX 1: Ergänze auf ein vollständiges Quadrat

Dazu vergleichen wir:

a2 + 2b a + b2 = ( a + b )2
x2 + 4 x +   = ( x +   )2

 

Du wirst sicher leicht erkennen was ergänzt werden muss!

Löse jetzt:

           

2.   Die reinqudratische Gleichung vom Typ

Diese Gleichung kann man auf die Gestalt umformen. Durch Wurzelziehen erhält man nun 2 Lösungen

Eine Lösung existiert daher nur dann wenn  c≥0  ist!  Lösungsübersicht:

Löse jetzt die folgenden Gleichungen und kontrolliere mit Derive

Hinweis: Stelle beim Lösen stets als Grundmenge reell ein! Erhältst du als Ergebnis false so ist die Lösungsmenge leer!

Löse jetzt 184 d   g        185 c  f

 

3. Die gemischt quadratische Gleichung 

Wenn wir durch a dividieren bekommen wir die Gestalt

Damit wir ein reines Quadrat auf der linken Seite bekommen verzichten wir einfach auf q:

Nun können wir versuchen links auf ein reines Quadrat zu ergänzen - wenn wir auf beiden Seiten den gleichen Wert dazugeben bleibt unsere Gleichung richtig:

Wenn du am Anfang alles verstanden hast ist das aber einfach (     =      ):

a2 + 2b a + b2 = ( a + b )2
x2 + p x + (p/2)2 = ( x + p/2 )2

 

Wir ergänzen daher mit und bekommen jetzt für unsere Gleichung:

Wir haben die Lösungsmenge der Gleichung gefunden:

bullet

Wenn wir mit D bezeichnen gilt:

  1. D>0  → 2 Lösungen
  2. D=0 → 1 Lösung
  3. D>0 →  keine reelle Lösung

D wird daher auch als Diskriminante bezeichnet

Da uns ja bekannt ist wie a,b,c und p,q zusammenhängen finden wir mit Derive leicht eine Formel für :

Wir geben die Lösungsmenge ein

Mit STRG+W ( Menü Vereinfachen-Variablen Substitution ) ersetzen wir p und q ...

und bekommen nach Vereinfachung die Lösungsmenge:

Die Lösungsmenge lautet daher

bullet
bulletDie Diskriminante lautet hier

Löse jetzt 187 d  g        189 c e  190 a d  und kontrolliere mit Derive

Beachte beim Bestimmen der Koeffizienten immer das Schema wie in nachfolgenden Beispielen(     =      ):

x2 + p x + q = 0
x2 - 3 x - 5 = 0

daher:  +p=p=-3 und +q=q=-5

a x2 +b x +c = 0
-3 x2 -2 x +1 = 0

daher: a=-3 und b=-2 und c=+1