Kapitelweise geordnete Übungsaufgaben

1. Logik
2. Mengen

3. Schaltungen

4. Zahlen

5. Kongruenzen und Restklassen

6. Strukturen

7. Gleichungen  

8. Funktionen, Proportionalitäten und Scheitelwertaufgaben

9. Gleichungssysteme, Matrizen, Determinanten

10. Vektorrechnung

Gegeben sind die Mengen  Bestimme

1.             2.             3.   Gib die Lösungen in  Intervallschreibweise  an .

2.

 Überprüfe mit einer Zugehörigkeitstafel:  

3.1

Gegeben ist

a) Bestimme K' L' M' b) Zeige

3.2

Es seien.

Bestimme a) A,B im beschreibenden Verfahren b) c) ein Mengendiagramm d) e) f) P(A)

3.3

Bestimme die Potenzmenge der Menge

3.4

Es sei U={1,2,...8,9} A={1,2,3,4} B={2,4,6,8} C={3,4,5,6} Bestimme e) B\C .

Erstelle jeweils ein Diagramm !

3.14

Gegeben sind die Zahlen: 0; 17; -3/4 ;1,3;  - 8; √16;7/9. Stelle von jeder Zahl fest, ob sie Element der Mengen N, P, Ng, Nu, Z+, Z-,Q ist oder nicht!

3.15

Die folgenden Mengen sind im aufzählenden und beschreibenden Verfahren festzulegen:

a) die Menge der durch 2 teilbaren Zahlen, die kleiner als -3 sind, 
b) die Menge der natürlichen Zahlen, die Vielfache von 3 und kleiner als 29 sind,
e) die Menge der Quadratzahlen zwischen 1 und 101,
d) die Menge der Primzahlen zwischen 1 und 50.

3.16

 Die folgenden Mengen sind im beschreibenden Verfahren festzulegen:

3.17

Folgende Mengen sind im aufzählenden Verfahren festzulegen:

3.18

Schreib jeweils die beiden gegebenen Mengen im aufzählenden Verfahren an und setze das Zeichen " = " bzw. " ~ " zwischen die beiden Mengen

3.19

Gegeben ist die Menge M = { x e N/ 120 < x < 30 } Bestimme folgende Teilmengen der Menge M:

a) T1, die Teilmenge aller ungeraden Zahlen von M,
b) T2 die Teilmenge aller durch 7 teilbaren Zahlen von M,
c) T3, die Teilmenge aller durch 15 teilbaren Zahlen von M,
d) T4, die Teilmenge aller Primzahlen von M!

Gib die Teilmengen jeweils in einem Mengendiagramm und im aufzählenden Verfahren an!

3.20

Gegeben ist die Menge der Eckpunkte eines regelmäßigen Sechsecks. Bestimme alle Teilmengen, deren Elemente

a) die Ecken eines gleichseitigen Dreiecks sind,
b) die Ecken eines rechtwinkligen Dreiecks sind,
e) die Ecken eines gleichschenkligen Dreiecks sind,
d) die Ecken eines Rechtecks sind,
e) die Ecken eines gleichschenkligen Trapezes sind,
f) die Ecken eines Deltoids sind!

3.21

Gegeben ist die Menge der Eckpunkte eines Würfels, M = {  B, C, D, E, F, G, H} Bestimme (an Hand einer Fig.) alle Teilmengen, deren Elemente

a) die Ecken eines Quadrats,
b) die Ecken eines Rechtecks (kein Quadrat),
e) die Ecken eines gleiehseitigen Dreiecks sind!

3.22

Gib den Durchschnitt folgender Mengen jeweils im aufzählenden und beschreibenden Verfahren an:

3.24

Vereinfache unter Beachtung des KG und AG der Durchschnittsbildung:

3.25

Gegeben sind die Mengen A= {1,3,5,7,9} , B = {2,4,6,8}, C = {3,5,},  D = {1, 5,7, 8}. Überprüfe:

3.26

Gegeben ist die Menge M der natürlichen Zahlen von 2 bis 20. Aus den Primzahlen und den zusammengesetzten Zahlen aus M werden zwei Teilmengen gebildet. Stelle fest, ob eine Klasseneinteilung der Menge M vorliegt!

3.27

Gib eine Klasseneinteilung der Menge N an a) in zwei Klassen, b) in drei Klassen, e) in vier Klassen!

3.28

Gib eine Klasseneinteilung der Menge Z in drei Klassen an!

3.29

Gegeben ist die Menge M {I, 2,3} . a) Bilde P(M)! b) Bestimme alle möglichen Klasseneinteilungen von M und zeige, dass jede dieser Klasseneinteilungen eine Teilmenge von P(M) ist!

3.30

Gegeben sind die Mengen: A = { 11, 12,13,14,15,16} und B={ 12,15,18}.

Überprüfe folgende Aussagen:

3.31

Ermittle folgende Differenzmengen:

3.32

Gegeben sind die Mengen: A={ 1, 2, 3,4, 5, 6,7 }, B ={2,4,6, 8, 10} C = {3,6,9}. Überprüfe die angegebenen Formeln:

3.33

Beweise mit Hilfe einer Zugehörigkeitstafel, dass das Bilden der Differenzmenge nicht assoziativ ist!

In den Aufgaben 34-35 ist M= N12 die Grundmenge und A= {I, 3, 5, 7, 9, 11}, B = {2, 4, 6, 8, 10, 12}, C = {3, 6, 9, 12} sind Teilmengen von M.

3.34

Bilde das zugehörige Mengendiagramm und ermittle die Mengen:

3.35

Überprüfe mittels Zugehörigkeitstafel die Gültigkeit der Formeln:

3.36

In einer Klasse von 33 Schülern sind 9 Schüler Tennisspieler und Schifahrer, 3 Schüler betreiben keine dieser Sportarten und 16 Schüler sind Schifahrer, jedoch keine Tennisspieler.

a) Wie viele Schüler der Klasse sind Tennisspieler, jedoch keine Schifahrer?

b) Wie viele Schüler der Klasse sind Tennisspieler?

3.37

Gegeben sind die Mengen: A = {1, 2,3} B = {2,3,4,5}, C = {2,5}. Es sind folgende Produktmengen zu bilden und grafisch darzustellen

AxB   AxC    BxA    BxC    BxB    CxA    CxC

3.38

Überprüfe unter Verwendung der Mengen  A = {1, 2,3} B = {2,3,4,5}, C = {2,5}die Gültigkeit folgender Distributivgesetze:

1.

a) Der folgende Gatterschaltplan soll in eine Schaltfunktion übersetzt werden. Die Schaltfunktion ist soweit möglich zu vereinfachen - jeder Umformungsschritt ist auszuführen. ( Nur Kontrolle mit Derive ! )

b) In einer Maschinenhalle stehen 4 elektrisch betriebene Maschinen a, b, c und d, welche der Reihe nach die Anschlußwerte 5,6, 12, 18A  haben. Der Stromanschluß ist mit 20A abgesichert. Gib 1) die Disjunktive Normalform, 2) die Gatterdarstellung der zugehörigen Schaltung an, welche ( zusätzlich zur Sicherung ) die gleichzeitige Inbetriebnahme von zu vielen Geräten durch einen Warnton verhindern soll!

1.

Die Entfernung Erde - Sonne beträgt 150 Millionen km. Wie viele Kugeln von der Größe der Erde ( Radius 6370 km )  müssten aneinandergereiht werden, um diese Entfernung zu überbrücken?

2.

Ein Meter Kupferdraht dehnt sich bei einer Temperaturerhöhung um 1°C  um 0,000016 m aus. Ein Kupferdraht ist bei +30°C  im Sommer 50 m lang. Um wie viel ändert sich seine Länge, wenn die Temperatur im Winter auf —10°C sinkt ?

3.

 Ein kegelförmiger Bauteil wird aus Stahl  mit den Maßen r = 24,0mm  ( Genauigkeit F = 0,1 ) und h = 300,0 mm ( Genauigkeit F = 0,1 ) hergestellt. In welchem Bereich liegt die Masse von 1000 Stück dieses Bauteils ?

1. Beweise: Aus a ≡ b (m) folgt an ≡ bn (m) für n є N! Anleitung: Wende die vollständige Induktion an!

2. Welche der folgenden Kongruenzen sind wahre Aussagen? a) 47 ≡12(7) b) 139 ≡ 522(4) e) 241 ≡ 120(11) d) 537 ≡ 249(13)

3. Welche der folgenden Kongruenzen sind wahre Aussagen?

- 18 ≡ 2 (5)      - 65 ≡ 17 (8)        37 ≡3 (9)     - 111 ≡ 29 (7)

4. Berechne die kleinste natürliche Zahl x, für die gilt:

a) x ≡25(7)             d) x ≡ 25² (7)             g) x ≡ (- 11). 146 (7)

b) x ≡113(7)           e) x ≡ 113² (7)             h) x≡  11.(-146) (7)

c) x ≡25.113 (7)     f) x ≡  253. 1132 (7)

5. Berechne die kleinste natürliche Zahl x, für die gilt:

a) x ≡32 (5)     b) x ≡33 (5)     e) x ≡34(5)     d) x ≡310 (5)

6. Berechne die kleinste natürliche Zahl x, für die gilt:

a) x ≡3.7 .13.23 (11)         d) x≡ 3.7 .(- 13).23 (11)

b) x ≡(- 3).7 .13.23 (11)     e) x≡ 3 . 7 .13.(- 23) (11)

e) x≡3.(- 7).13 . 23 (11)

7. Berechne die dem Betrag nach kleinste ganze Zahl x, für die gilt:

a) x ≡532 (7)         b) x ≡45 (9), e) x ≡127 3 (11) e) x≡ 1257 4(9), f) x ≡67 3825(11)

8. Berechne die Einerziffer der gegebenen Potenz: a) 3125 b) 4 95 e) 6150 d) 7200

A n le i t u n g: Berechne die kleinste natürliche Zahl mod 10

9. Berechne, in welcher Restklasse mod 11 die angegebene Zahl liegt!

a) 27 -35 + 63, b) 46-61.137, e) 105 - 102, d) 19538.720.10000 - 84

10.  Berechne, in welcher Restklasse mod 8 die angegebene Zahl liegt!

a) 123 4561,     b) 1112 + 113 2 + 1152 + 1172,    e) 1.2.3.4.5.6.7.9.10.11.12.13

11. Stelle fest, in welcher Restklasse     a) 3 40 mod 11,     b) 6 113 mod 5,    c) 4 72 mod 17,     d) 1315 mod 8 liegt!

12. Stelle mithilfe des Taschenrechners fest, in welcher Restklasse die angegebene Zahl liegt!

a) 4538 (23) c) 17 508 (127) e) 165 486 (499) b) 8040 (7 9) d) 23 558 (241) f) 463780 (967)

13. Beweise: Das Quadrat einer ganzen Zahl kann mod 4 nur in den Restklassen 0 oder 1 liegen.

14. Beweise: Das Quadrat einer ungeraden Zahl kann mod 8 nur in der Restklasse 1 liegen.

1. Beweise, dass die Menge der Restklassen a) mod 2, b) mod 3, e) mod 7, d) mod 11 bezüglich der Addition und Multiplikation die Struktur eines Körpers haben!

2. Beweise: a) ({0,2,4,6,8}mod 10 (+,. ) )ist ein Körper. b) ({O, 3,6,9,12} mod 15 ; (+,.) ist ein Körper.

3. Beweise, dass die Restklassen a) mod 6, b) mod 8, e) mod 9, d) mod 10 bezüglich der Addition und Multiplikation nicht die Struktur eines Körpers haben!

4. Beweise:  (I; +, -) ist kein Körper.

5. Formuliere die Begriffe Gruppe, Ring und Körper. Gib alle Gesetze an und ordne die Mengen N, Z, R, Q in diese Strukturen ein.

1.

Bestimme  Definitionsmenge und Hauptnenner und löse die folgende Gleichung :

2.

Wie lautet der Satz von Vieta ?  Gib eine quadratische Gleichung mit Lösungen { -1, -2 } an !

3.
Die Entfernung zweier Städte beträgt 468 km. Von beiden Orten starten gleichzeitig in entgegengesetzten Richtungen zwei Flugzeuge, von denen eines eine um 54 km/h geringere Geschwindigkeit hat als das andere. Das eine Flugzeug kommt 36 Minuten später an als das andere. Wie groß sind die Geschwindigkeiten der Flugzeuge?

1.
Bei Versuchen wurden folgende Werte gemessen. Gibt es einen funktionalen Zusammenhang? Wenn ja - welchen? Begründe deine Aussagen durch Rechnung. Zeige dass Quotientengleichheit oder Produktgleichheit  ( höherer Ordnung) vorliegt. Stelle die gefundene Funktion grafisch dar.

In der Tabelle steht zuerst der x- Wert dann der gemessene f(x)-Wert

a)     b)c)d)

Lösungen:

a)  b)c)d) Nein

2.
Im Zusammenhang mit einer Flugzeuguntersuchung wurde Proportionalität zwischen dem Auftrieb (A) und dem Quadrat der Windgeschwindigkeit (v) festgestellt. Für v = 30 m/sec ergab sich A= 2/3 kp. Bestimme Gleichung und Funktionsgraph der Beziehung zwischen Auftrieb und Windgeschwindigkeit.

3.
Die zum Betrieb eines Schiffs notwendigen Pferdestärken (y) verhalten sich wie die dritten Potenzen seiner Geschwindigkeiten (v). Es ist y=l50O PS, v=12 Knoten (kn). Berechne y für  a) v=10kn  b) v=15 kn   c) v=2Okn  d) v=28kn  e) v=33kn. Stelle diesen Zusammenhang auch grafisch dar.

4.
Die Geschwindigkeiten (m/sec) von Flüssigkeiten in Rohrleitungen verschiedenen kreisförmigen Querschnitts verhalten sich bei gleicher Fördermenge umgekehrt wie die Quadrate ihrer Radien (cm). Wie heißt die Funktion, wenn sich für r= 2 cm das zugehörige v= 4 m/sec ergeben hat? Stelle die Funktion grafisch dar und berechne das Fehlende: 

a) r = 6cm               b) v = 2m/sec        c) r  = 10cm  d) v = 1,44 m/sec

5.
Von einem Wasserturm wird bei gleich bleibendem Wasserspiegel das Wasser in das Rohrnetz reibungslos geleitet, das immer enger wird (Querschnitt Q).

Stelle diesen Vorgang grafisch dar und ergänze die Tabelle!

  6.
Bestimme rechnerisch den Scheitel der gegebenen Parabel.  Zeichne den Graphen und bestimme k zwischen x = 0 und x =2

a)    b) c)

Lösung:

a)     b)c)

7.
Der Stückpreis einer Ware beträgt 13,5 GE (Geldeinheiten). Die Kostenfunktion für die Herstellung von x Stück sei . Für wie viel Stück betragen die Kosten 180 GE? Wie lauten die Gleichungen der Erlösfunktion und der Erfolgsfunktion (Gewinnfunktion)? In welchem Bereich kann ohne Verlust verkauft werden? Bei welcher Menge x wird der maximale Gewinn erzielt?

8.
Der Stückpreis n(x) einer Ware ist variabel; es gilt:   für 0 <x <68.  Wie lautet die Gleichung der Erlösfunktion? Bei welcher Menge x wird der maximale Erlös erzielt?

Die Kostenfunktion ist linear:  K(x) = 5x + 500. Bestimme die Gleichung der Erfolgsfunktion (Gewinnfunktion). In welchem Bereich wird ohne Verlust verkauft? Bei welcher Menge x wird der maximale Gewinn erzielt?

9.
Das Bremsen eines Autos wird beschrieben durch s(t)=28 t — 2.5 t² .  Wann kommt das Auto zum Stillstand?  Ermittle den zugehörigen Weg, den so genannten Bremsweg.

10.
An einer Mauer soll ein rechteckiger Platz durch einen Drahtzaun abgegrenzt werden. Es stehen 30 m Drahtzaun zur Verfügung; der Platz soll möglichst groß sein. Wie sind die Abmessungen zu wählen ?

11.
Ein a) 40 cm   b) a cm  langer Draht wird zu einem Rechteck zusammengebogen. Für welche Abmessungen ist der Rechtecksinhalt am größten ?

12.
Die Flugbahn eines Körpers beim schiefen Wurf wird durch den Graphen der Funktion mit f(x) = - 0,02 x² + x beschrieben. f(x) bedeutet hier die jeweilige Höhe, x die horizontale Entfernung. In welcher horizontalen Entfernung x wird  der höchste Punkt erreicht?

1.
Bestimme den Rang der Matrizen und wenn möglich die Determinante

a)   b)  c)  d)  e)

2.
Zeige mit einem selbstgewählten Beispiel:

    a) Der Rang einer Matrix ändert sich nicht wenn man die Zeilen vertauscht
    b) Vertauscht man in einer Determinante zwei Zeilen so ändert sich das Vorzeichen.
    c) Der Wert einer Determinante ändert sich nicht wenn man Zeilen und Spalten vertauscht

3.
Bestimme alle Lösungen der vorliegenden Gleichung

a)   b)  c)

4.
Löse folgende Gleichungsysteme a) durch Elimination  b) durch Lösen mit Derive  c) Mittels Matrizen d) Grafisch

a)   b)  c)  d)  e)  f)

1.

seien beliebige nicht kollineare Vektoren in der Ebene. Es gelte. Beweise dass die Vektoren normal aufeinander sind.

2.

3.

Der Punkt P (-2 / 8) ist an der Geraden X= (0/2) + t(1/2) zu spiegeln. Berechne den gespiegelten Punkt!

4.

B liegt im 4. Quadranten. Berechne B,C  sowie den Flächeninhalt des Dreiecks!

5.

6.

7.

8.

A(1 / -2), B(-2 / -6). ABCD ist ein Rechteck, wobei BC = 3 AB ist. Berechne C und D! (2 Lösungen).

9.

A(-1 /-1) und C(2 / 3) sind Eckpunkte des Rhombus ABCD. Die Diagonale [B, D] hat die Länge 15. Berechne B und D, weiters die Seitenlänge und den Flächeninhalt des  Rhombus!

10.

A ist der Schnittpunkt von g und h; B liegt auf g und AB = 10; D liegt auf h und

11.

12.

Gegeben ist das Dreieck ABC. Berechne die Gleichungen der Trägergeraden a) der Seiten, b) der Schwerlinien, c) der Höhen, d) der Seitensymmetralen, *e) der Winkelsymmetralen in Parameterform und in parameterfreier Form !

Berechne  die Koordinaten f ) des Schwerpunkts, g) des Höhenschnittpunkts, h) des Umkreismittelpunkts und zeige, daß die drei Punkte auf einer Geraden liegen! (EULERsche Gerade).

13.

Gegeben ist das Dreieck ABC [A (0 / 0), B (12 /12), C (—12 / 6)]. Rechne wie in Aufg. 12 !

14.

15.