Ungleichungsysteme
In diesem Kapitel betrachten wir konjunktive Systeme wie sie uns bereits bekannt sind:
Die grafische Untersuchung greift auf jene Gerade zurück die die Punktbereiche trennt für die die Ungleichung wahr bzw. falsch ist. Wir erhalten diese Grenzgerade für einen Bereich wenn wir das Relationszeichen durch = ersetzen:
In diesem System lassen sich die Schnittpunkte je zweier solcher Geraden ermitteln - wir erhalten die Eckpunkte eines Polygons :E1,E2,...,E6. Nicht alle dieser Punkte sind tatsächlich Eckpunkte die den Bereich begrenzen ( siehe Grafik ! ). Drei der Punkte sind gültig - wir bezeichnen diese Punkte als Extremalpunkte. E4,E5,E6 .
Um diese zu ermitteln schneiden wir je 2 Gleichungen:
Fassen wir also zusammen:
DN: Eine Punktmenge heißt konvex wenn für alle M1, M2 aus M gilt: M1M2 ‘ M
DN: Eine von Geraden begrenzte konvexe Menge heißt konvexes Polygon
DN: Ein Punkt P aus M heißt möglicher Extremalpunkt wenn er Schnittpunkt von 2 Grenzgeraden ist.
DN: Ein Extremalpunkt heißt gültig wenn er Eckpunkt des erzeugten Polygons ist.
Satz: Ein gültiger Extremalpunkt erfüllt alle Ungleichungen des Systems.
Anm.: Mit diesem Satz kann man auch ohne Zeichnung leicht feststellen ob ein Extremalpunkt gültig ist !
Aufgabe 1: Ermittle alle Extremalpunkte des Polygons [x+2y“4x-y“4x’1y’1]
 | a) Zeichne den Bereich |
| b) Zeichne die Grenzgeraden |
| c) Beschrifte die Extremalpunkte |
| d) Berechne die Extremalpunkte |
Aufgabe 2: Ermittle alle Extremalpunkte des Polygons [x+y“4x-2y“5x’0y’1]
| a) Zeichne den Bereich |
| b) Zeichne die Grenzgeraden |
| c) Beschrifte die Extremalpunkte |
| d) Berechne die Extremalpunkte |