DN: Ein Koordinatensystem mit Achsen die einen rechten Winkel bilden und deren Einheit 1 beträgt heißt kartesisch.

Ein Punkt A wird in einem derartigen System durch die Koordinaten (x1,y1) festgelegt.  Durch den Punkt A wird aber auch ein Pfeil festgelegt der von 0 nach A führt.

Ein Vektor wird durch seine Länge und seine Richtung festgelegt ( Kraft). Sein Ansatzpunkt ist nicht wesentlich.

DN: Ein Vektor ist eine Menge gleich langer, gleich gerichteter Pfeile. Ein Pfeil heißt Repräsentant des Vektors.

Besonders einfach ist die Darstellung wenn der Repräsentant vom 0-Punkt ausgehend angegeben wird - es genügt den Punkt an der Spitze anzugeben. Wir bezeichnen dies auch als Ortsvektor des Punktes.

Wenn der Vektor zwischen 2 Punkten A, B liegt kann man ihn sehr einfach auf einen Ortsvektor zurückrechnen:

Satz:  Man erhält den Ortsvektor indem man Endpunkt - Anfangspunkt rechnet.

Aus der Zeichnung ergibt sich übrigens sofort für die Länge des Vektors ( Begründe!):

DN: Unter dem Betrag eines Vektors versteht man  |v| =

Hängt man an eine bel. Punkt A (x1/y1) den Vektor ( a,b) an so erhält man den Punkt  B ( x1+a / y1+b). Der Punkt A wurde in den Punkt B verschoben.

EX1:
Gegeben sind der Anfangspunkt A und der Endpunkt E eines Pfeiles. Ermittle seine Koordinatendarstellung (1) graphisch, (2) rechnerisch!
a) A(3/2), E(6/5)
b) A(6/2),E(3/5)
c) A(6/5), E(3/2)
d) A(0/5),E(2/0)
e) A (0/0), E (4/3)
f) A ( -1/2), E (3/ - 4)
g) A(- 1/- 3), E(3/2)
h) A(1/3), E(-3/- 2)

EX2:
Gegeben sind der Anfangspunkt A und die Koordinatendarstellung des Pfeils AE.  Ermittle die Koordinaten seines Endpunktes E (1) graphisch, (2) rechnerisch!
a) A(1/2), AE = (3/4)
b) A(1/2), AE = (- 3/- 4)
c) A(3/4),AE = (1/2)
d) A(- 3/- 4), AE = (1/2)
e) A (O/O), AE = (2/3)
f) A(2/3), AE= (0/0)
g) A(-1/2), AE =(- 1/2)
h) A(5/- 4), AE = (- 4/5)
 

EX3:
Spiegle die Punkte A (2/3), B (1/ - 6), C (- 5/- 2), D (- 3/ - 3), E (4/ 0) (1) an der x-Achse, (2) an der y-Achse und gib die Koordinatendarstellung der Ortspfeile der Bildpunkte in Zeilenform und in Spaltenform an!

EX4:
Ermittle den Umfang des Vielecks (1) graphisch, (2)rechnerisch!
A(3/3), B(- 2/2), C(- 3/- 3), D(3/-1)
b) A(4/1), B(2/6), C(- 4/1), D(0/- 4)
 

EX5:
Wie kann die fehlende Koordinate des Pfeils gewählt werden, damit er die angegebene Länge I besitzt?
AB=(3IY) l=5
b)AB=(x/12) l=13.
 

EX6:
Wie viele verschiedene Vektoren werden dargestellt? Lies aus der Figur die Koordinatendarstellung und den Betrag jedes Vektors ab!

EX7:
Die angegebenen 3 Pfeile AB, CD und EF sollen Repräsentanten des gleichen Vektors sein. Ein Pfeil ist falsch! Ermittle (1) graphisch, (2) rechnerisch, um welchen Pfeil es sich handelt!
a) A(1/- 3), 8 (5/- 1), C (2/2),D(- 2/0), E (- 1/0), F(3/2)
b) A(2/1), 8(4/- 2), C(1/2), D(7/-1), E(-5/3), F(1/0)

EX8:
Unterwirf das Vieleck der durch den Vektor s gegebenen Schiebung! Arbeite (1) graphisch, (2) rechnerisch!

A(4/0), B(2/2), C(- 2/2),D(- 4/0), E(- 2/- 2),F(2/- 2)     s(2/-3)

EX9:
Ermittle die Koordinaten des fehlenden Eckpunktes und den Umfang des Parallelogramms (1) graphisch, (2) rechnerisch!
A(1/-3), B(5/1),  C(1/3)