Lehrstoff f. d. 4. Schularbeit
Kontinuierliches exponentielles Wachstum - Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion, Eigenschaften und Rechengesetze
Gebremstes und logistisches Wachstum
Rechnen mit Logarithmen
Rechengesetze für Logarithmen mit Beweis !
Übungen :
Buch: 752 - 774, 778 - 781
1.
a) Definiere die Zahle e und beschreibe kurz ihre praktische Bedeutung.
b) Zeichne y = e und y = In(x) in ein Koordinatensystem. Beschreibe den Zusammenhang zwischen den beiden Funktionen. Nenne wesentliche Eigenschaften beider Funktionen.
4.
Von einem schmerzstillenden Medikament wird im Körper in 2h die Hälfte abgebaut. Es werden um 8.00 mit einer Injektion 7 mg verabreicht. In welchem Zeitraum muss die nächste Injektion verabreicht werden, wenn 2 mg des Wirkstoffs im Körper nicht unterschritten werden sollen, andererseits aber 10 mg nicht überschritten werden dürfen ?
5.
6.
Ein elektrischer Kondensator kann aufgeladen und entladen werden. Ein Kondensator mit der Anfangsladung Q0 = 0,05 Coulomb wird entladen, wobei die Ladung exponentiell abnimmt. Nach 3,466 sec besitzt der Kondensator nur noch die halbe Ladung. Wie groß ist die Ladung nach einer Entladezeit von a) 2s b) 5s ?
8.
Auf welchen Wert wäre ein zur Zeit von Christi Geburt angelegtes Kapital K = 1€ bis heute angewachsen (p = 2,5%)?
9.
Ein Kapital von 1 € sei zum Wucherzinssatz p=100% angelegt Auf welchen Betrag wächst es in einem Jahr bei a) ganzjährlicher b) halbjährlicher c) vierteljährlicher c) monatlicher e) täglicher f) stetiger Verzinsung?
10.
,,Weinpantscher-Beispiel": In einem Fass sind 100 1 Wein. Man entnimmt 1 I und gießt 1 I Wasser hinein Aus dieser Mischung entnimmt man 1 I und gießt wieder 1 I Wasser ein. ... Wie viel Wein ist nach zehnmaliger derartiger Vorgangsweise noch im Fass? Wie oft muss man so verfahren, bis nur mehr 50 1 Wein im Fass sind?
Anleitung: Wenn die Mischung a I Wein enthält, dann werden bei Entnahme von 1 I aus dem Fass a/100 l Wein entnommen, so dass 99a/100 Wein verbleiben !
11.
| Bruttosozialprodukt 1985 | prognostizierter Zuwachs |
entwickelte Region | 7150 Mrd. Dollar | 3,1% jährlich |
unterentwickelte Region | 1841 Mrd. Dollar | 4,3% jährlich |
Wie hoch wären nach diesen Prognosen die Werte des Bruttosozialproduktes im Jahr 2000 ? Was folgt daraus für den Unterschied im Lebensstandard
12.
Ein Vater will seinem Sohn einen Zuschuss für einen Einkauf geben. Er macht ihm zwei Angebote: ,,lch gebe dir 14 Tage lang täglich Geld. (A) 15€ am ersten Tag, 20€ am zweiten, 25€ am dritten,... oder (B) 0,5€ am ersten Tag, 1 € am zweiten Tag, usw.; der Betrag wird hier jeweils verdoppelt" Welches Angebot bringt dem Sohn mehr Geld ?
13.
Uran X2 zerfällt nach dem Gesetz n = n0e-0,606t (t in Minuten). Wähle n0 = 10 mg und zeichne ein Schaubild der Zerfallskurve Berechne auch die Halbwertszeit
14
Ein Stein enthält 100 mg einer radioaktiven Substanz. Nach drei Jahren sind es nur mehr 60 mg. Wann sind es nur mehr 10 mg?
15.
Wie groß war der ursprüngliche Holzbestand eines Jungwaldes, der nach acht Jahren 60 000 m3 und nach 20 Jahren 80 000 m3 Holz enthält?
16.
Aus 1000 Bakterien einer bestimmten Art sind durch Vermehrung innerhalb von zwei Stunden 1300 Bakterien geworden. Wie viele Bakterien sind nach fünf Stunden vorhanden? In welchem Zeitraum tritt eine Verdreifachung der Bakterienanzahl ein?
17.
Der Staat Utopia hat 100 Millionen Einwohner und ein jährliches effektives Bevölkerungswachstum von 2%. Der Staat Silurien hat 50 Millionen Einwohner bei einem Wachstum von 3%. In wie viel Jahren werden beide Staaten gleich viele Einwohner haben? Wie viele werden das sein? Zeichne auch für beide Staaten Graphen der Bevölkerungsentwicklung
18.
Beim Eindringen von Licht in eine Flüssigkeit nimmt dessen Intensität I nach dem Gesetz I = I0· e-0,35x ab (x = Dicke der durchdrungenen Schicht in m). Berechne die ,,Halbwertsdicke". Zeichne einen Graphen dieser Abnahmefunktion.
19.
In einer Stadt mit 40 000 Einwohnern breitet sich ein Gerücht aus. Zu einem bestimmten Zeitpunkt ist dieses Gerücht schon 20000 Einwohnern bekannt. Unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums wächst die Zahl der ,,Wissenden" in jeder Stunde um denselben Bruchteil der gerade vorhandenen Anzahl von ,,Wissenden". Wenn aber viele Leute das Gerücht schon kennen, dann ist dies praktisch nicht mehr möglich. Wir nehmen daher nunmehr an die stündliche Zunahme der Wissenden sei ein bestimmter Bruchteil der noch nicht Wissenden. Das heißt: nunmehr erfahren stündlich das Gerücht beispielsweise 60% jener, die es noch nicht kennen. Untersuche diesen Vorgang.
20.
Ein Gegenstand hat im Kühlschrank eine Temperatur von 6° C. Er wird in eine Umgebung mit 20° C gebracht. Sein Temperaturzuwachs pro Minute beträgt 30% des Unterschiedes zwischen (der Grenze) 20° C und seiner Temperatur am Beginn dieser Minute. Erstelle eine Tabelle und einen Graphen des Temperaturverlaufes .
21.
Herr Groß muss wegen einer chronischen Erkrankung täglich 2,5 mg eines bestimmten Medikaments zu sich nehmen. Sein Körper scheidet täglich 40% aus.
a) Schreibe ein Programm, das in einer Tabelle ausgibt, welche Menge dieses Medikaments nach 1, 2,.... 30 Tagen im Körper vorhanden ist.
b) Gib den täglichen Zuwachs durch eine Formel an, bestimme die Sättigungsgrenze G dieses Wachstums und begründe, warum es sich um ein begrenztes Wachstum handelt.
22.
Ein Gegenstand mit 25° C wird in einen Kühlschrank mit 5° C gebracht. Seine Temperaturabnahme pro Minute beträgt 25% des Unterschiedes zwischen seiner Temperatur am Beginn dieser Minute und 5° C (Grenze) Erstelle eine Tabelle und einen Graphen des Temperaturverlaufes während der ersten sechs Minuten. Es liegt eine begrenzte Abnahme vor. Erkläre das.
23.
Der Fischbestand eines Teiches entwickelt sich nach dem Modell des logistischen Wachstums: die Sättigungsgrenze des Bestandes liegt bei 400 Fischen. Es werden 20 Fische ausgesetzt. Der monatliche Wachstumsfaktor beträgt 0,001. Schreibe ein Programm, das den Fischbestand des Teiches nach 1,2. .., 24 Monaten in Form einer Tabelle ausgibt.
25
Vom Rohstoff Erdöl sind weltweit noch 90.109 t vorhanden. Der Verbrauch 1993 beträgt voraussichtlich 3.109 t, die jährliche Verbrauchszunahme wird auf 5,1% geschätzt.
a. Gib einen Funktionsterm an, der den jährlichen Verbrauch nach n Jahren angibt, und berechne die Verdoppelungszeit.
b. Wie viele Jahre kommt man mit dem Gesamtvorrat einschließlich 1993 noch aus?
26.
Entscheide durch Berechnung geeigneter Änderungsmaße, ob die Zunahme der Gästenächtigungen im Bundesland Salzburg eher durch eine lineare Funktion oder eine Exponentialfunktion beschrieben werden kann!
1987: 20,94.106 1989: 22,65.106 1991: 24,5.106
27.
Warum ist es unrealistisch, Populationswachstum (z.B. Kröten in einem Teich) über einen längeren Zeitraum durch exponentielles Wachstum zu beschreiben? Welches Wachstumsmodell ist dazu besser geeignet? Von welchen Annahmen wird dabei ausgegangen? (Beschreibe das Modell)
28.
Der Rotwildbestand eines Jagdreviers entwickelt sich nach dem Modell des logistischen Wachstums: die Sättigungsgrenze des Bestandes liegt bei 300 Tieren . Es werden 10 Jungtiere ausgesetzt. Der monatliche Wachstumsfaktor beträgt 0,001. Stelle den Rotwildbestand nach 1, 2, ... 20 Monaten in einer Tabelle dar.
a) Wann erreicht der Wildbestand 100 Tiere
b) Wie groß ist der Bestand nach 7,5 Monaten
29.
Der in einem Tierskelett gemessene C14 Anteil beträgt 0,85 % . Die Halbwertszeit von C14 liegt in [5690, 5770 ] Jahren.
a) Berechne das Intervall in dem das Alter des Skeletts liegt.
30.
Jemand muss täglich 2 mg eines bestimmten Medikaments zu sich nehmen. Sein Körper scheidet täglich 35 % aus.
a) Erstelle eine Tabelle aus der ersichtlich ist welche Menge dieses Medikaments nach 1, 2,.... 20 Tagen im Körper vorhanden ist.
b) Gib den täglichen Zuwachs durch eine Formel an, bestimme die Sättigungsgrenze G dieses Wachstums und begründe, warum es sich um ein begrenztes Wachstum handelt. ( Hinweis : geometrische Reihe !)
c) Erkläre warum sowohl ein ungebremstes Modell als auch ein lineares Modell ungeeignet ist.
31.
DDT (Dichlordiphenyltrichlorethan) ist ein bekanntes Schädlingsbekämpfungsmittel dessen bedenkenloser Einsatz dazu geführt hat, dass es überall auf der Welt vorkommt, so auch durch die Nahrungskette in der Muttermilch. Eine Konzentration von O,O5ppm (= parts per million 10-4 %) ist zwar noch tolerabel, doch wäre es wünschenswert, wenn die Toleranzgrenze auf 0,02 ppm gesenkt werden könnte Wie lange wird das dauern, wenn ab sofort (wie bereits in fast allen Staaten) kein DDT mehr verwendet wird und die ,,Halbwertszeit" von DDT etwa 30 Jahre beträgt (natürlich tritt kein atomarer Zerfall auf, sondern DDT zersetzt sich (leider nur sehr) langsam unter Umwelteinflüssen)?
32.
Der Luftdruck nimmt mit zunehmender Höhe exponentiell ab. Er beträgt bei 5500m Seehöhe nur noch 50 % des Wertes auf Meeresniveau (= ca 1000 mbar).
(1) Gib eine Formel an, die es ermöglicht, den Luftdruck in Abhängigkeit von der Höhe zu bestimmen! Berechne damit den Luftdruck auf dem Großglockner (3797 m) und auf dem Mt.Everest (8848 m). Zeichne den Graphen für h in [O; 10000[!
(2) Umgekehrt kann man aus dem Luftdruck die Höhe berechnen (barometrischer Höhenmesser). Gib auch dafür eine Formel an ! In welchem Zusammenhang stehen diese und die vorige Formel?
(3) Die ,.kritische Schwelle" (= jene Höhe, wo der menschliche Körper nicht mehr mit genügend Sauerstoff versorgt werden kann) liegt dort, wo der Luftdruck nur noch 40 % des Wertes auf Meeresniveau beträgt Berechne diese Höhe!
(4) Gib eine Formel an, mit der du in Abhängigkeit von einer Ausgangshöhe jene Hohe berechnen kannst wo der Luftdruck nur noch die Hälfte dieses Wertes beträgt!
33.
Radioaktive Stoffe zerfallen im Laufe der Zeit. Ein bestimmter radioaktiver Stoff hat eine Halbwertszeit von 4 Tagen d.h. nach 1 Tagen ist nur noch die Hälfte der ursprünglichen Stoffmenge vorhanden
(a) Bestimme den Wachstumsfaktor! (Zwischenergebnis: 0,84)
34.
Der Bierschaum einer bestimmten Biersorte zerfällt mit 80 Sekunden von 1 dm auf 0,5 dm Höhe. Nach weiteren 80 Sekunden sind nur noch 0,25 dm Schaum vorhanden usw. Der Zerfall kann in guter Näherung als exponentiell angesehen werden.
(a) Ermittle den funktionellen Zusammenhang zwischen der Schaumhöhe y (in dm) und der Zeit x (in Sekunden).
35.
Um die Funktion der Bauchspeicheldrüse zu testen, wird ein bestimmter Farbstoff in sie eingespritzt und dessen Ausscheiden gemessen. Eine gesunde Bauchspeicheldrüse scheidet pro Minute etwa 4% des jeweils noch vorhandenen Farbstoffs aus. Bei einer Untersuchung wird einem Patienten 0,2 Gramm des Farbstoffes injiziert. Nach 30 Minuten sind noch 0,09 Gramm des Farbstoffes in seiner Bauchspeicheldrüse vorhanden. Funktioniert seine Bauchspeicheldrüse normal‘?
36.
a) Von einem Medikament wird im Körper in 3h die Hälfte abgebaut. Es werden um 8.00 mit einer Injektion 5 mg verabreicht. In welchem Zeitraum ( [frühestens, spätestens]) muss die nächste Injektion verabreicht werden, wenn 2 mg des Wirkstoffs im Körper nicht unterschritten werden sollen, andererseits aber 8 mg nicht überschritten werden dürfen?
Lösungen :
1. - 2. e, e² 3. 1 4. [2,44 ;3,61] 5. -
6. - 7.a) 1,e b) 3,82 8. 1,54*1040 ; 1,618*1040 9. A) 2 b)2,25 c) 2,44 d)2,61 e) 2,71 f)2,718 g) e
10. 90,44 - 50l nach 69 Vorgängen 11. 11303 Mrd, 3462 Mrd 12. A 6650 B 8191,5
13. t0,5=1,14 s 14. 13,5 15. 50000 16. 1900; 8,5 Std
17. 71 J, 408 Mill. 18. D0,5 = 1,98 m 19. - 20. -
21. b) 6,25 ( Hinweis : geometrische Reihe mit q = 0,6) 22. an+1= an-0,25(an-5)
23. an+1= an+0,001an(400-an) 24. 0 25. b) 18,7 c) -3,3% ( Hinweis : geometrische Reihe !)