Die Summenformel der geometrischen Reihe 

Die im hier vorgestellten Aufgaben haben eine besondere Bedeutung. Sie sind nicht in erster Linie zum Lösen gedacht, sondern sollen Anstoß zum Nachdenken über jähe Wendungen im menschlichen Denken sein. Der menschliche Geist hat den Weg zur Wahrheit oft in den Labyrinthen der Vermutungen und Fehler gesucht und harten Zweikampf mit der Offensichtlichkeit geführt. Und es kam vor, dass sie ihn wie eine Fata Morgana in der Wüste auf Irrwege führte. Ein großer Teil der angegebenen Paradoxa gehört zu den berühmten Sackgassen, die im Laufe der Entwicklung der Wissenschaft von Zeit zu Zeit Erschütterungen in der Logik, in der Physik und in der Mathematik hervorriefen. Paradoxa entstanden fast immer in der Atmosphäre der Vorahnung qualitativer Sprünge in der Erkenntnisgewinnung und hinterließen am Wissenschaftsgebäude die Spuren teilweiser Zerstörung. Gleichzeitig stimulierten sie aber auch zu großartigen Instandsetzungsarbeiten am Fundament der Wissenschaft. Als Ergebnis erhärteten die Gelehrten die Grundlagen des theoretischen Wissens und drangen tiefer in die Geheimnisse der untersuchten Erscheinungen ein. 

1. Dichotomie (Zweiteilung)
Ein Körper, der sich vom Punkt A zum Punkt B (|AB|=1) bewegen soll, erreicht nie sein Ziel, denn er müsste erst die Hälfte der Strecke AB durchlaufen, dabei von dieser ersten Hälfte erst wieder die erste Hälfte und so unendlich mal weiter. Er muss eine unendliche Menge von Mittelpunkten von Strecken, deren Längen
1,  1/2, 1/4, 1/8,....
betragen, durchlaufen. Deshalb bewegt er sich nicht von der Stelle. Somit ist keine Bewegung möglich, denn sie kann nie beginnen.

2. Achilles und die Schildkröte
Der Schnell-Läufer Achilles kann eine Schildkröte nie überholen, vorausgesetzt, sie hat einen Vorsprung. Nehmen wir an, dass sich die Schildkröte in einer Entfernung von |AB|=1 vor ihm befindet und Achilles 100mal schneller läuft als sie. Wenn Achilles diese Entfernung 1 durchlaufen hat, hat die Schildkröte einen Vorsprung von 1/100. Wenn Achilles diese 1/100 durchlaufen hat, ist die Schildkröte immer noch 1/100² vor ihm usw. Wie lange der Wettlauf auch dauert, die Schildkröte wird stets einen Vorsprung besitzen. Das heißt, es kann keine Bewegung geben, denn wenn sie begänne, endete sie nie.

3. Der fliegende Pfeil ruht
Wenn man sich Raum und Zeit durch unteilbare Teilchen gebildet vorstellt, so ruht ein Pfeil, welcher fliegt. In jedem unteilbaren Augenblick (Zeitatom) nimmt der Pfeil eine und dieselbe Lage ein, und seine Spitze befindet sich in irgendeinem Raumatom, wo eine Bewegung nicht mehr möglich ist, denn das Raumatom ist unteilbar. Dann besteht aber die ganze Flugbahn des Pfeils aus solchen Zuständen der Ruhe. Da sich der Pfeil im Ruhezustand nicht bewegt, ist der Weg, den er in diesem Augenblick zurücklegt, gleich Null, und das heißt, der ganze Weg ist 0+0+0+...=0. Der Pfeil bewegt sich also nicht.

4. Das Stadion
In einem Stadion bewegt sich der Körper A gleichmäßig nach rechts und der Körper B nach links. Wir stellen uns vor, dass diese Körper unteilbar, also Atome, sind und dass sie während eines Zeitatoms die Strecke von einem Raumatom zurücklegen. Wenn sich die Körper zu Beginn der Bewegung in einer Entfernung von 2 n + 1 (n E N) Raumatomen zueinander befinden, so werden sie sich in der Mitte des Weges nach 1/2(2 n + 1) Zeitatomen treffen. Dabei wird jeder Körper einen Weg von 1/2(2 n + 1) Raumatomen zurücklegen. Wenn wir uns also die Bewegung in einer diskreten RaumZeit vorstellen, gelangen wir zu einem Widerspruch. Es ist also keine Bewegung möglich.

Wir wenden uns dem Paradoxon von Achilles zu:

Offensichtlich legt Achilles folgende Strecken zurück:

also eine geometrische Reihe mit 

Wir suchen die Summe dieser Reihe - d.h. wie lang ist die Summe aller ( unendlich vieler ! )  Strecken die Achilles durchläuft. Einfacher wird das Problem wenn wir zunächst nur endlich viele Strecken betrachten:

Wenn nun unendlich viele Strecken durchlaufen werden dann ergibt sich

dann hat Achilles die Schildkröte eingeholt !

Aufgabe: Führe diese Berechnung aus für i) Achilles ist doppelt so schnell  ii) 4 mal so schnell  iii) 10 mal so schnell  iv) n mal so schnell wie die Schildkröte!

Ersetzen wir durch q und 1 durch b₁dann erhalten wir folgende wichtige Formeln:

Satz:

I)       II 

Dies sind die Summenformeln für die endliche und unendliche geometrische Reihe  ( -1<q<1 ! ) .

Beweis:

The definite sum of the expression u with respect to n from k to m can be entered by typing in an expression of the form SUM(u, n, k, m).

Übung und Hausübung:

1.

2.

3.

Anleitungen 4 - 7.pdf

4.

5.

6.

7.

8.