Testen von Hypothesen mit binomialverteilten Zufallsvariablen

EX1:
Der Marketingleiter eines Betriebes behauptet dass sein Produkt einen Bekanntheitsgrad von 60%(oder mehr ) hat. Dies wird mit einer Umfrage unter 200 Personen untersucht. Dabei geben 98 Befragte an das Produkt zu kennen. Wie ist die Aussage des Marketingleiters anhand dieser Umfrage zu beurteilen ?

Das Ergebnis kann zufällig zustande kommen. Hier testen wir linksseitig d.h. wenn weniger als die zu erwartende Anzahl das Produkt kennen dann fragen wir uns wie wahrscheinlich ist dieses Ergebnis? Wenn die Wahrscheinlichkeit gering ist lehnen wir die Hypothese ab. Die Wahrscheinlichkeit für dieses Ergebnis liegt bei 0,1% dies ist eine hochsignifikante Abweichung, die Hypothese ist daher zu verwerfen.

DN : Die Wahrscheinlichkeit, mit der die Prüfgröße unter der Hypothese H in den Ablehnungsbereich fällt, heißt Irrtumswahrscheinlichkeit .

Wird eine Hypothese zu Unrecht verworfen spricht man von einem Fehler 1. Art, wird sie zu Unrecht nicht verworfen spricht man von einem Fehler 2. Art.

EX2:
Kann ein neugeborenes Küken Körner erkennen, oder lernt es dies aus Erfahrung? Um die Frage zu entscheiden, werden Küken gleich viele runde und dreieckige Papierstücke vorgesetzt, wovon das Küken insgesamt n Stück pickt. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit a kann die Hypothese H: p = 0,5 (dh. zufällige Wahl) verworfen werden für  a) n = 15, Ablehnungsbereich K = {12; 13; 14; 151 b) n = 20, Ablehnungsbereich K = {17; 18; 19;20}

EX4:
Ein Zeitschriftenvertreter behauptet, in 80% der Verkaufsgespräche ein Abonnement zu verkaufen. Man will ihm glauben, wenn er morgen a) bei 20 Verkaufsgesprächen mindestens 12, b) bei 25 Verkaufsgesprächen mindestens 14 Abonnements verkauft. Ermittle die Irrtumswahrscheinlichkeit des Tests!

EX5:
Ein Staubsaugervertreter behauptet, in 30% der Verkaufsgespräche einen Staubsauger zu verkaufen. Man will ihm glauben, wenn er morgen a) bei 20 Verkaufsgesprächen mindestens 8, b) bei 25 Verkaufsgesprächen mindestens 10 Staubsauger verkauft. Ermittle die Irrtumswahrscheinlichkeit  des Tests!

EX6:
Erfahrungsgemäß bestehen a) 40%, b) 60% der Kandidaten eine Wiederholungsprüfung. Ein Nachhilfeinstitut behauptet von sich, dass die von ihm betreuten Kandidaten besser seien. Zum Beweis führt es an, dass von 20 Kandidaten nur 3 durchgefallen seien. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man die Behauptung, dass seine Kandidaten auch nicht besser sind als zufällig gewählte andere, verwerfen?

EX7: Bei der letzten Wahl errang die Partei X 40% der Stimmen. Ein Jahr danach berichten die Meinungsforscher, dass von 100 Personen bei einer Wahl "am nächsten Sonntag " 50 für die Partei X votieren würden. Ist die Partei X stärker oder schwächer geworden ?

Untersuchen wir ob die Partei stärker geworden ist - d. h. wie wahrscheinlich bzw. unwahrscheinlich ist eine Abweichung nach oben. Dazu müssen wir eine Irrtumswahrscheinlichkeit vereinbaren. Ang. wir wollen die Hypothese H=0,4 mit 5% Irrtumswahrscheinlichkeit ( nehmen wir in Kauf !) ablehnen - welche Umfrageergebnisse entsprechen dieser Vorgabe?

wobei n=100, p = 0,4 . Mit Derive suchen wir den Ablehnungsbereich P(X>=k)<0,05 :
Wir lassen i von 45 bis 50 laufen :

Für i=48 unterschreiten wir die 5% Irrtumswahrscheinlichkeit, daher P(X>48) < 0,05  also ist der Ablehnungsbereich 49<=X<=100 ! Da die Prüfgröße (50) in diesen Bereich fällt lehnen wir die Hypothese "keine Änderung ab " ( - wir akzeptieren dabei eben 5% Irrtumswahrscheinlichkeit) . Die Partei ist stärker geworden! Die Hypothese ist auf Grund des Versuchsergebnisses abzulehnen.

DN : Liegt die Prüfgröße bei im Ablehnungsbereich, so heißt die Veränderung der Prüfgröße hochsignifikant. Man spricht von einem Test auf 99,7% Signifikanzniveau.

Für unser Beispiel gilt :
Das Prüfergebnis liegt nicht im Ablehnungsbereich wenn wirwählen , die Partei ist zwar signifikant stärker, jedoch nicht hochsignifikant stärker geworden. (Überprüfe !)

EX8: Im Jahr 1988 hatte die Automarke ,,speedy" einen Marktanteil von 20% in Osterreich. Das ist dem Firmenchef zuwenig. Nach einer Werbekampagne will der Chef mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% wissen, ob die Automarke 1989 am Markt (1) gewonnen  (2) verloren hat, (3) sich ihr Marktanteil verändert hat.
Wie lautet die Antwort, wenn von 50 befragten Autokäufern sich a) 8, b) 15 für die Automarke ,,speedy" entschieden haben?

DN 33: Ein Test heißt

ist, wobei jedem Teilbereich zugeordnet wird.

Zum Testen kann man folgende Funktionen in die Datei Probabil.mth implementieren:

Für a 1. ) testen wir rechtseitig:

Der Ablehnungsbereich beginnt bei 16 ! Da die Prüfgröße nicht im Ablehnungsbereich liegt haben wir keine signifikante Abweichung => keine Veränderung !

Für a 2 . ) testen wir linksseitig:

Der Ablehnungsbereich endet bei 5 ! Da die Prüfgröße nicht im Ablehnungsbereich liegt haben wir keine signifikante Abweichung => keine Veränderung !

Für a 3. suchen wir links und rechts den Bereich mit Irrtumswahrscheinlichkeit 2.5% !

EX9: Erfahrungsgemäß bestehen 60% der Fahrschüler die Fahrprüfung nicht auf Anhieb. Eine Fahrschule behauptet, dass ihre 50 Schüler a) signifikant, b) hochsignifikant besser seien. Formuliere eine Hypothese und gib den Ablehnungsbereich an!


EX10: Ein Arzt behauptet, eine Methode zu besitzen, mit der er mit 80%iger Sicherheit das Geschlecht des Kindes bereits im vierten Schwangerschaftsmonat ermitteln kann. Um seine Behauptung zu testen, wird folgende Entscheidungsregel verwendet. Man Iäßt ihn 14 Voraussagen treffen. Wenn mindestens 11 Voraussagen sich bewahrheiten, will man seine Behauptung akzeptieren, sonst verwerfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass seine Methode verworfen wird,
a) wenn sie nicht besser als bloßes Raten ist (dh. p = 0,5)?
b) wenn sie tatsächlich funktioniert (dh. p = 0,8)?