Lehrstoff für die 1. Schularbeit

Die Verwendung von komplex.mth ist möglich
 

Komplexe Zahlen

Definition, Rechenvorschriften
Körpereigenschaften
Punktmengen in der Gauß'schen Zahlenebene,  Polarform
Euler'sche Formel, Exponentialform
Anwendungen der Exponentialform, Rechnen mit Polarformen
Funktionen mit komplexem Argument

su_c1  - su_c7

 

Übungsaufgaben: 

1.
 Beweise die Körpergesetze in C !

 2.
Es sei z = 2+ i, w = 1 - i    Berechne: z+w, z-w, z*w, z/w, abs(z), z², z³ manuell und kontrolliere mit DR.

3.
Löse in C : z + (l-i)z = (4+3i)z

5.
Leite eine Formel zur Berechnung der Potenzen der Zahl i her

6.
Leite die Rechenregeln für das Rechnen mit Polarformen her. Beweise den Satz von Moivre

7.
Bestimme jeweils alle anderen Darstellungsformen

a) 3-2i      b) (5;4,6)        c) 2e2,5i

8.
a) Beweise die Existenz  eines neutralen und inversen Elemets für die Multiplikation im Körper C
b) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle:

Binomialform Polarform Exponentialform
3 - i    
      
     

c) Berechne  
 

.
a) Beweise das Distributivgesetz und die Kommutativgesetze im Körper C
b) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle ohne Verwendung der Hilfsdatei komplex.mth:

Binomialform Polarform Exponentialform
5 - i    
    (1; 75°)   
      3ei

c) Berechne  die 5. Wurzeln aus  7
d) Leite die Rechenregeln für das Multiplizieren und Dividieren in Polarform her

10.
Ein Schiff befinde sich im Punkt O+Oi eines kartesischen Koordinatensystems mit Kurs auf den Punkt 2-4i und Geschwindigkeit 25sm/h. Nach 2h wird die Richtung von 2-4i auf 4-2i geändert und die Geschwindigkeit auf 28 sm/h erhöht. Wo befindet sich das Schiff nach weiteren 3 Stunden? Wie weit ist es vom O Punkt entfernt?
 

11.
Ein Mann fährt 25km N75°O danach 33km N60°W und schließlich 28km W30°S. Bestimme wie weit und in welcher Richtung er sich vom Ausgangspunkt befindet.

12.
Eine Kraft mit Größe  12N und Richtung  27° setzt an einem im O Punkt gelagerten Körper an. Wohin wird der Körper bewegt, wenn die Kraftrichtung um 145° in positiver Richtung gedreht wird ?

13.
Ein Flugzeug fliegt vom Flughafen A 400 km O78°N dann 340 km N 7°W und schließlich 250 km N10°O  An diesem Punkt erfolgt eine Notlandung. Auf welchem Kurs und in welcher Entfernung vom Flughafen A ist die Absturzstelle zu suchen ? Stelle den Lösungsvektor auf 4 Arten dar. Wie lange benötigt man bei 600 km/h auf direktem Weg zur Absturzstelle ?

 14.
Bestimme die Koordinaten der Eckpunkte eines regelm. 9 Ecks mit  Mittelpunkt (0/0) und Ecken Pi  wobei 0Pi=4cm

 15.
Die Funktion f(z)=a*z bildet den Punkt 6-2i einer ebenen Fläche auf 18+5i ab. Durch welchen Faktor a wird diese Bewegung erzielt ? Wie lauten die Parameter dieser Abbildung?

16.
Gib folgende Funktionen an:

  1. Drehung um +145°

  2. Drehung um -200°

  3. Streckung auf die doppelte Größe

  4. Reduzierung der Größe auf ein Drittel

  5. Streckung auf 125%  Drehung um 180° und Schiebung um 3cm parallel zur x- Achse

  6. Streckung auf 145%  Drehung um 90° und Schiebung um 3cm parallel zur y- Achse

  7. Streckung auf 75%  Drehung um -90° und Schiebung um 3cm parallel zur 1. Mediane

Teste alle Funktionen in der Gausschen Zahlenebene