Komplexe Zahlen

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungsaufgaben: 

1.
 Beweise die Körpergesetze in C !

 2.
Es sei z = 2+ i, w = 1 - i    Berechne: z+w, z-w, z*w, z/w, abs(z), z², z³ manuell und kontrolliere mit DR.

3.
Löse in C : z + (l-i)z = (4+3i)z

5.
Leite eine Formel zur Berechnung der Potenzen der Zahl i her

6.
Leite die Rechenregeln für das Rechnen mit Polarformen her. Beweise den Satz von Moivre

7.
Bestimme jeweils alle anderen Darstellungsformen

a) 3-2i      b) (5;4,6)        c) 2e^2,5i

8.
a) Beweise die Existenz  eines neutralen und inversen Elemets für die Multiplikation im Körper C
b) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle:

Binomialform	Polarform	Exponentialform
3 - i

c) Berechne  
 

.
a) Beweise das Distributivgesetz und die Kommutativgesetze im Körper C
b) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle ohne Verwendung der Hilfsdatei komplex.mth:

c

 
Auf einem Schulfest wird das folgende "Feuerwehrspiel" angeboten. In einer Urne sind fünf bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln; zwei tragen die Aufschrift ,,1", drei die Aufschrift ,,2". Man zieht dreimal je eine Kugel und legt diese nicht in die Urne zurück. Der Einsatz beträgt 1 €. Zieht man den Feuerwehrnotruf 122, so erhält man 5 € (dh. 4 € Gewinnprämie und 1 € Einsatzrückerstattung) , ansonsten" verbrennt" der Einsatz. Gib alle möglichen Spielverläufe (samt Wahrscheinlichkeiten) an! Wie groß ist die Gewinnchance (1) für den Spieler, (2) für die Bank? Ist das Spiel "fair"?


Die Wahrscheinlichkeit für eine Knabengeburt (K) sei 0,52, für eine Mädchengeburt (M) dementsprechend 0,48. (1) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit für die Geburtenfolge a) KKMK bzw. KMKK? b) MMMK bzw. KMMM?



Eine Maschine erzeugt Produkte brauchbarer Qualität (B) mit der Wahrscheinlichkeit p und Ausschuss (A) mit der Wahrscheinlichkeit q = 1- p. Welche der angegebenen Produktionsfolgen ist deiner Ansicht nach wahrscheinlicher? Begründe!
a) BBBBBAAAAA oder ABABABABAB
b) BBAAAABB oder AABBBBAA
 

Im Zuge einer Werbeaktion wird folgendes Gewinnspiel veranstaltet. In einer Urne liegen vier - bis auf die Beschriftung gleichartige - Kugeln: ,,0", "D", ,,0", "L". Man hat - natürlich "blind" - eine Kugel nach der anderen a) ohne, b) mit Zurücklegen der gezogenen Kugel zu ziehen. Zieht man auf diese Weise das Wort ODOL, so erhält man eine Flasche Mundwasser gratis. Wie groß ist die Gewinnchance bei einem Spiel?


Im Zuge einer Werbeaktion für das neue Fastfoodprodukt "MAMPF" wird folgendes Gewinnspiel veranstaltet: In einer Urne liegen fünf - bis auf die Beschriftung gleichartige - Kugeln: "A", "F", "M", "M", "P". Man hat - natürlich "blind" - eine Kugel nach der anderen a) ohne, b) mit Zurücklegen der gezogenen Kugel zu ziehen. Zieht man auf diese Weise das Wort "MAMPF", so erhält man eine Kostprobe gratis. Wie groß ist die Gewinnchance?

Zenzi Zollfrei nähert sich mit a) 38, b) 49 anderen Personen in einem Autobus der Grenze.
Angesichts ihrer erschöpften Urlaubskassa wankt ihr Gewissen, ob sie das Urlaubsmitbringsel ordnungsgemäß verzollen soll. Aus Erfahrung weiß sie, dass immer 2 Insassen vom Zöllner zufällig ausgewählt und genau untersucht werden. Wie groß ist für sie die Chance, kontrolliert zu werden? Schätze zuerst!


Aus den fünf Mädchen Antonia, Bärbel, Cäcilie, Doris und Elfi soll ein aus drei der Mädchen bestehendes Team ausgelost werden.

(1) Wie viele verschiedene Teams gibt es?

(2) Wie groß ist für jedes Mädchen die Chance, in das Team zu kommen?

(3) Bärbel möchte gerne gemeinsam mit Antonia spielen; wie groß ist ihre Chance dafür?

(4) Cäcilie möchte gemeinsam mit Antonia, aber nicht gemeinsam mit Doris spielen; wie groß ist dafür die Chance?

Die Zwillinge Peter und Paul Faul sind wieder einmal für die Stundenwiederholung in Mathematik nicht vorbereitet. Sie wissen, dass stets zwei Schüler zur Prüfung zufällig ausgewählt werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (1) sowohl Peter als auch Paul, (2) Peter, aber nicht Paul, (3) Paul, aber nicht Peter, (4) Peter, (5) Paul, (6) dass weder Peter noch Paul zur Stundenwiederholung drankommen, wenn insgesamt 20 Schüler anwesend sind?

Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem durchschnittlichen Ausschussanteil von 3 %, wobei der Fehler rein zufällig auftritt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Serie von 20 Stück (1) kein, (2) genau ein Stück Ausschuss ist?
b) Wie viel Stück Ausschuss muss man unter 20 Stück erwarten und um wie viel schwankt dieser Wert voraussichtlich nach oben und unten?
c) Ein ordnungsgemäß erzeugtes Stück bringt einen Gewinn von 2 €, ein Stück Ausschuss einen Verlust von 5 €. Mit welchem Gewinn darf man bei einer Produktion von 10 000 Stück rechnen?


Bernhard und Brigitte spielen ein Tischtennisturnier. Bernhard gewinnt ein Spiel mit der Wahrscheinlichkeit 0,6, Brigitte daher mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Es werden a) 3 Spiele, b) 5 Spiele, c) 7 Spiele, d) 9 Spiele gespielt. Wer die Mehrheit der Spiele gewinnt, ist Sieger.
(1) Wie groß sind Brigittes Chancen, als schlechtere Spielerin das Turnier zu gewinnen?
(2) Wie groß ist die Chance, dass Brigitte ohne Spielverlust das Turnier beendet?


Julia und Rupert spielen ein Tennismatch auf 3 gewonnene Sätze. Julia gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 0,6, Rupert mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) für Julia, b) für Rupert, (1) das Match ohne Satzverlust zu gewinnen?
(2) das Match in 4 Sätzen zu gewinnen?
(3) das Match in 5 Sätzen zu gewinnen?


Eine Samenhandlung verkauft Briefchen, die je 200 Samen mit der Sortenreinheit von 98 % enthalten. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem solchen päckchen (1) mehr als 6. (2) Q'enau 6. (3) mindestens 6 falsche Samen enthalten sind?


Eine Eisenwarenhandlung verkauft Schrauben in Packungen zu je 250 Stück mit einem Ausschussanteil von 3 %. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer solchen Packung (1) weniger als 6, (2) genau 6, (3) höchstens 6 defekte Schrauben sind?


Eine Schreibkraft macht durchschnittlich 2 Fehler pro Seite. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass sie eine Seite fehlerfrei schreibt, wenn für eine Korrespondenzseite durchschnittlich a) 1 000, b) 1 500 Anschläge zu tätigen sind?


Erfahrungsgemäß erscheinen 4 % aller Fluggäste, die Plätze reservieren ließen, nicht zum Flug. Die Fluggesellschaft weiß dies und verkauft a) 75 Flugkarten für 73 verfügbare Plätze, b) 125 Flugkarten für 121 verfügbare Plätze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese - in der Praxis übliche - Über buchung gut geht?


Erfahrungsgemäß nehmen 8 % aller Hotelgäste, die ein Zimmer reservieren ließen, dieses nicht in Anspruch. Das Hotelmanagement weiß dies und reserviert a) 28 Zimmer, obwohl nur 26 verfügbar sind, b) 48 Zimmer, obwohl nur 45 verfügbar sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese - in der Praxis übliche - Überbuchung gut geht?
 

Ein Zeitschriftenvertreter behauptet, in 80% der Verkaufsgespräche ein Abonnement zu verkaufen. Man will ihm glauben, wenn er morgen a) bei 20 Verkaufsgesprächen mindestens 12, b) bei 25 Verkaufsgesprächen mindestens 14 Abonnements verkauft. Ermittle die Irrtumswahrscheinlichkeit des Tests!

Ein Staubsaugervertreter behauptet, in 30% der Verkaufsgespräche einen Staubsauger zu verkaufen. Man will ihm glauben, wenn er morgen a) bei 20 Verkaufsgesprächen mindestens 8, b) bei 25 Verkaufsgesprächen mindestens 10 Staubsauger verkauft. Ermittle die Irrtumswahrscheinlichkeit  des Tests!

Erfahrungsgemäß bestehen a) 40%, b) 60% der Kandidaten eine Wiederholungsprüfung. Ein Nachhilfeinstitut behauptet von sich, dass die von ihm betreuten Kandidaten besser seien. Zum Beweis führt es an, dass von 20 Kandidaten nur 3 durchgefallen seien. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man die Behauptung, dass seine Kandidaten auch nicht besser sind als zufällig gewählte andere, verwerfen?

Bei der letzten Wahl errang die Partei X 40% der Stimmen. Ein Jahr danach berichten die Meinungsforscher, dass von 100 Personen bei einer Wahl "am nächsten Sonntag " 50 für die Partei X votieren würden. Ist die Partei X stärker oder schwächer geworden ?

Angeblich benützen 30% aller Hausfrauen das Waschmittel Jumbo. In einer Umfrage geben von 100 Hausfrauen 43 an Jumbo zu benützen.
a) Ist dieses Ergebnis signifikant (hochsignifikant) besser als die Annahme ?
b) Der Hersteller nimmt nun an dass 40% der Hausfrauen Jumbo benützen. Nach einiger Zeit wird eine neue Umfrage unter 100 Hausfrauen durchgeführt wobei 27 Benutzer ermittelt werden. Ist der Absatz von Jumbo nun signifikant schlechter geworden ?
c) In einer weiteren Umfrage unter 78 Hausfrauen ermittelt man 23 Benutzer. Hat sich der Anteil der Jumbobenutzer signifikant verändert wenn man das Umfrageergebnis der letzten Umfrage zugrundelegt ?

Bei der Herstellung von Motorbauteilen erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 2% angenommen. Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 50 Stück zwischen 3 und 8 fehlerhafte Stücke ?
b) Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 40 Stücken 5 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen ?
c) Bei einer Reklamation wird eine hochsignifikante Veränderung der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 60 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren ?

 http://www.bg-bab.ac.at/~mathe/mathe_7/sa1/sa1_v.htm   Aufgaben 1 - 10