1.Beweise: Ausführlich und schrittweise dokumentiert

a) Aus y = f1(x)+f2(x)+...+fn(x) folgt y´=f1´(x)+f2´(x)+...+fn´(x)

( Ind. --> Vorr. y=f1+f2 =>Y´=f1´+f2´)

b) Aus y = c folgt y´=0

c) Aus y = kx+d folgt y´=k

d) Zeige mit Hilfe der Quotientenregel: Die Ableitung der Potenzfunktion y=xⁿ ist auch für n<0 durch y´= nx^n-1 (Anl.: Verwende y = x^-n mit n > 0 und schreibe als Bruch) Formuliere den entsprechenden Satz und wende diesen am Beispiel 224 a)b) an.

e)Welche Lücke besteht noch beim Differenzieren der Potenzfunktion ? Formuliere das Problem und stelle eine Vermutung auf. Überprüfe deine Vermutung mit Derive.

2) An die Kurve y = x³ - 2x soll in x1=1 die Tangente und Normale gelegt werden. Fertige danach eine genaue Funktionsskizze mit Tangente und Normale an !

3) Ermittle den Schnittwinkel der Kurven y = x²-4 und y = 0,5x²+4 ! Überprüfe durch genaue Zeichnung. ( Anl.: Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den Tangenten im Schnittpunkt. Überlege - (1;f´(xs)) ist ein Richtungsvektor der Tangente )

4) Gib eine Formel für Tangente und Normale an eine Kurve in Parameterform an !

5) Auf der Kurve y = 1/3x³-2x+1 werden die beiden Punkte P1 und P2 mit den Abszissen x1 = 1 und x2 = 3 durch die Sehne verbunden. Gibt es eine Tangente die in diesem Intervall zur Sehne parallel verläuft ? Wenn ja, in welchem Punkt ?

6) Verallgemeinere Beispiel i) - Gibt es immer eine Tangente die parallel zur Intervallsehne verläuft ? Kann es mehrere Tangenten geben ? Welche Voraussetzungen muß man beachten ?

7) Vom Punkt P(0/-2) soll eine Tangente an y = 2x²+x-1 gezogen werden. Wo liegen die Berührungspunkte ? Kontrolle durch Zeichnung mit Derive.

Extremwertaufgaben - Lösung mit Derive:

8)Ein Schraubbolzen soll so konstruiert werden, daß ein Schraubgang genau die Länge 20mm haben soll. Die Festigkeit der Verschraubung ist bei größerer Oberfläche des zylindrischen Bolzens ebenfalls größer. Wie muß der Bolzen für einen Schraubgang dimensioniert werden, damit die Oberfläche (= Zylindermantel) maximal wird ?

9.Es soll ein Sportplatz bestehend aus einer 400m Rundbahn und einem im inneren der Laufbahn gelegenen rechteckigen Spielfeld angelegt werden. Wie muß man die Laufbahn dimensionieren, wenn sie aus 2 Habkreisen und 2 geraden Strecken gebaut werden soll, damit das Spielfeld maximale Fläche bekommt ? Vergleiche die Lösung mit der Realität !

10.Ein Fahrzeug soll von einem im Gelände gelegenen Punkt A möglichst rasch zu einem auf einer Straße gelegenen Punkt B gelangen. Die Geschwindigkeit im Gelände beträgt 15 km/h, die Geschwindigkeit auf der Straße beträgt 25 km/h. Der Abstand des Punktes A von der Straße beträgt 3 km, der Abstand von B zur Abstandslinie von A auf der Straße beträgt 7 km. Welchen Weg muß das Fahrzeug nehmen?

11. Berechne die Schnittwinkel der Kurven y = 2sin²x und y=cos(2x)      (L:60) Diskutiere auch beide Kurven !

12. Ein rechteckiges Stück Land mit einem Teich ist an 2 aneinanderliegenden Seiten durch Straßen begrenzt. Ein Endpunkt des Teiches ist von den Straßen 256 bzw 108m entfernt. Bestimme die Länge des kürzesten Weges, der über das Stück Land geht, am Endpunkt des Teiches vorbeigeht und die beiden Straßen verbindet. (L: 500)

13. Die Seitenwand eines Gebäudes soll durch einen Balken abgestützt werden, der über eine 10m hohe, zur Wand parallele, Mauer gelegt werden muß. Diese ist 8m vom Gebäude entfernt. Wie lang ist der kürzeste Balken den man benützen kann ?

14. In 28km Abstand von einem geradliniegen Kanal liegt eine Stadt A , während am Kanal in 45kmEntfemung von dem A am nächsten gelegenen Punkte des Kanals die Stadt B liegt. An welcher Stelle des Kanals muß muß der Warenumschlag stattfinden, wenn die Transportkosten möglichst klein sein sollen und die Landfracht 167% der Wasserfracht beträgt ?

15. Das Drahtseil einer Seilbahn überbrückt einen Graben von 100 m Breite bei einem Höhenunterschied von 25 m. Seine Form kann näherungsweise durch eine Polynomfunktion f vom Grad 2 beschrieben werden. Im unteren Aufhängepunkt A hat f die Steigung -1/4. Stelle eine Termdarstellung für diese Polynomfunktlon auf! An welcher Stelle ist das Seil am tiefsten und wie tief ist es dort unter dem Aufhängepunkt A? Ab welcher Stelle ist das Seil mindestens so hoch wie in A? Wie groß ist das Maß  des Winkels, unter dem das Seil im oberen Aufhängepunkt B zur Horizontalen geneigt ist?

16. Ein Masseteilchen bewegt sich auf einer Geraden nach dem Gesetz

a) Wann wächst die Geschwindigkeit und wann fällt sie ?
b) Wann wechselt die Bewegungsrichtung?
c) Welche Strecke wurde nach 3 sec zurückgelegt ?

17. Eine Kugel wird mit 34,3m/sec senkrecht nach oben geschossen und bewegt sich gemäß  wobei s die Entfernung vom Ausgangspunkt ist. Bestimme

a) die Geschwindigkeit und Beschleunigung für t=3 und t=4
b) die größte erreichte Höhe
c)Wann beträgt die Höhe 29,4 m

18. Die elektrische Stromstärke in einem Wechselstromkreis gehorcht dem Gesetz

In welchem Zeitpunkt ist sie am größten ?

19:
Ein dreieckiges Grundstück soll durch eine möglichst kurze Strecke halbiert werden.

21:
Wie muß man eine Konservendose dimensionieren damit diese bei 1 Liter Inhalt möglichst geringen Materialverbrauch hat?

22.
Zwei Fahrzeuge sind von einer Straßenkreuzung 35 bzw 42 km entfernt. Ihre Geschwindigkeiten betragen 60 bzw 80 km/h, ihre Entfernung von einander beträgt 21 km.
d) Wie groß ist der Kreuzungswinkel?
b) Wann ist der Abstand der Fahrzeuge am kleinsten ?
c) Wann beträgt der Abstand 15 km ?
d) Stelle den Abstand als Funktion der Zeit graphisch dar und interpretiere den Verlauf der Kurve.

23.
Ein Problem von Johannes Kepler:
Ein Faß hat die Gestalt eines geraden Zylinders. In halber Höhe des Zylinders ist der Mittelpunkt des Spundloches. Der Abstand dieses Mittelpunktes vom entferntesten Punkt eines Grundkreises ist Ö 3 . Wie groß müssen der Durchmesser des Grundkreises und die Faßhöhe sein, damit das Faßvolumen den größten Wert annimmt ?

24.
Ein Grundstück ( siehe Plan ) soll mit einem Telekabelanschluss versehen werden. Dazu wird von einer Seite des Grundstücks in E eine Abzweigung zum Punkt P des Grundstücks verlegt und dann wieder in geradliniger Fortsetzung zur anderen Grundstücksseite geführt.
a) Erstelle eine Längenfunktion, die diesen Sachverhalt in Abhängigkeit von geeigneten Parametern beschreibt.
b) Wie lang ist die kürzestmögliche Strecke EF ? Wie lauten die Randwerte des Problems ?Wie weit von D entfernt liegt der Abzweigungspunkt E ? Wie hoch sind die Verlegekosten bei einem Preis von 3200.-S /m ?
c) Um einen alten Baumbestand zu bewahren, entschließt man sich zu einem Abzweigungspunkt G, der 7m von D entfernt ist. Um wie viel % ist der neue Kabelverlauf teurer als der optimale ?

25.
Zur Standardausrüstung von Sternwarten zählt ein Fernrohrtyp. der nach seinem Erfinder als Schmidtspiegel bezeichnet wird. Vor einem sphärischen (= kugelförmigen) Hohlspiegel wird eine Korrektur1inse angebracht, deren Profil auf der einen Seite durch eine Strecke. auf der anderen Seite durch die Funktion