Differentialrechnung siehe SAV3
Exponential und Logarithmusfunktion:
a)
Beweise aus den suxx , Kurvenuntersuchungen
b) Untersuche die Kurven
c) Für die Funktion sind Nullstellen, Extrema, Wendepunkte sowie Tangente und Normale im Wendepunkt zu bestimmen. Berechne ferner die Fläche die von den Koordinatenachsen und der Kurve eingeschlossen wird.
Extremwertaufgaben
1) Anlegen einer genauen Skizze, eintragen der Parameter und Variablen.
2) Formulieren einer Hauptbedingung
3) Wenn nötig - erstellen einer oder mehrerer Nebenbedingungen
4) Substituieren der Hauptbedingung zur Reduktion auf eine unabhängige Variable und Verinfachung der Haupotbedingung soweit möglich.
5) Ermitteln der Extremstellen mit Derive, ev. graph. Darstellung der Funktion
6) Überprüfen der Extremstellen auf Max, Min mit Begründung
7) Überprüfen der Randwerte
8) Ermitteln der Variablen und der Extremwerte.
Lösungen 1 - 10 Lösungen 11 - 20 Lösungen 21-30
1. Kantenmodell eines Quaders:
Aus einem 120 cm langen Draht soll ein Kantenmodell eines Quaders hergestellt
werden, dessen eine Kante dreimal so lang ist wie eine andere Kante. Wie sind
die Abmessungen des Quaders zu wählen, wenn sein Volumen maximal sein soll?
2. Trapez mit eingeschriebenem Rechteck:
Ein gleichschenkeliges Trapez ist durch a = 160 E, c = 60 E und h = 45 E
gegeben.
Diesem sind Rechtecke so einzuschreiben, dass sie eine Seite auf der Basis des
Trapezes liegen.
Welche Maße hat das flächengrößte Rechteck?
3. Quadratische Säule:
Welche quadratische Säule mit der Oberfläche 0 = 240 cm2 hat den größten
Rauminhalt und wie groß ist dieser? .
4. Rechtwinkeliges Dreieck mit maximaler Fläche:
Über der gegebenen Hypotenuse c ist jenes rechtwinkelige Dreieck zu errichten,
welches die größte Fläche hat. Zeige, dass das rechtwinkelig-gleichschenkelige
Dreieck (= halbes Quadrat) diese Bedingung erfüllt!
5. Gleichschenkeliges Dreieck HERON'sche Flächenformel:
Zeige: Von allen Dreiecken mit gegebener Seite c und gegebenem Umfang U hat das
gleichschenkelige Dreieck den größten Flächeninhalt!
6. Kanalbau:
Ein Kanal hat einen rechteckigen Querschnitt von A. Welche Abmessungen muss man
dem Rechteck geben, damit für die Ummauerung am wenigsten Material verbraucht
wird? Der Kanal ist oben offen!
7. Drehung eines Rechtecks zu einem Zylinder:
Ein Rechteck vom Umfang U dreht sich um eine seiner Seiten. Wie müssen die
Abmessungen gewählt werden, damit a) der Mantel b) das Volumen des entstehenden
Drehzylinders möglichst groß wird?
8. Regattaboje 1:
Ein Schwimmkörper hat die Gestalt eines Zylinders mit aufgesetztem Kegel (d.h.:
die beiden Teile haben gleich große Basiskreise). Die Höhe des Kegels beträgt
2/3
des Durchmessers des Basiskreises.
a) Wie sind die Abmessungen von Zylinder und Kegel zu wählen, damit bei
vorgegebenem Volumen V = 384pi am wenigsten Material zum Bau verbraucht wird?
b) Zeige, dass dabei Zylinder und Kegel gleich hoch sind!
9. Ausschneidebogen für eine Pyramide:
Aus einem quadratischen Stück Karton von 10 cm Seiten Länge werden 4 kongruente
gleichschenkelige Dreiecke, deren Basen die Quadratseiten sind, so
weggeschnitten, dass man das Netz einer quadratischen Pyramide erhält.
Wie sind die Abmessungen der Pyramide zu wählen, damit sie das größte Volumen
erhält?
10. Kegelförmiqer Trichter:
Ein kegelförmiger Trichter soll ein Volumen von V = 36pi cm3
Flüssigkeit fassen. Damit an seinen Wänden möglichst wenig Flüssigkeit durch
Adhäsion verloren geht, soll er eine möglichst kleine Wandfläche haben. (Man
denke an die Filtrierung in Chemie!) Welche Abmessungen sind zu wählen?
11. Turm mit Dach:
Ein Turm mit quadratischer Grundfläche soll ein pyramidenförmiges Dach mit 100 m3
Fassungsraum erhalten, wobei die Dachfläche minimal sein soll.
a) Welche Abmessungen hat das Dach?
b) Wie weit steht es vor?
c) Welchen Neigungswinkel haben die Dachflächen?
12. Tunnel:
Das Gewölbe eines Tunnels hat einen Querschnitt von der Form einer Halbellipse
mit horizontaler Hauptachse. Die Gesamtbreite beträgt 6√2
m, die Höhe vom Gewölbeansatz bis zum Scheitel 2m. Bei einer Vergrößerung des
Tunnels soll das Gewölbe so ausgebrochen werden, dass sein Querschnitt zu einem
gleichschenkeligen Dreieck wird, dessen Basis auf der Höhe der Hauptachse der
Halbellipse liegt.
a) Wie breit wird der neue Tunnel, wenn der Gesteinsausbruch minimal sein soll?
b) Um wie viel wird die Querschnittsfläche vergrößert?
13. Regattaboje 2:
Ein Schwimmkörper besteht aus einem Zylinder mit einerseits aufgesetzter
Halbkugel, andererseits mit aufgesetztem Kegel, jeweils von gleichem Radius. Die
Kegelhöhe beträgt 4/3 des Basiskreisradius.
Wie sind die Abmessungen der drei Teilkörper zu wählen, damit bei der
Herstellung der Boje so wenig Blech wie möglich benötigt wird und der Inhalt
312pi beträgt?
14. Konservendose:
Eine Konservendose hat die Form eines Zylinders und soll bei gegebenem Volumen
von 1 dm3 in Hinblick auf die Herstellungskosten eine möglichst
kleine Oberfläche haben. Wie ist die zylindrische Dose zu dimensionieren?
15. Rinne mit trapezförmigen Querschnitt:
Aus drei gleich breiten Brettern (Breite b) soll eine Rinne von trapezförmigem
Querschnitt so angefertigt werden, dass mit ihr eine möglichst große Wassermenge
abgeleitet werden kann. Welchen Winkel schließen die Bretter ein?
a) Löse mit Längen als Variable!
b) Löse mit Winkel als Variable!
16. Grundstücksverkleinerunq:
Auf einem rechteckigen Ackergrundstück ABCD, das mit der Ecke A an eine
Straßenkreuzung grenzt, steht ein Baum B. Er ist 8 m von AD und 4 m von AB
entfernt.
Wegen einer Straßenverbreiterung bei der Kreuzung soll die Ecke A durch einen
geradlinigen, dicht am Baum vorbeiführenden Zaun abgetrennt werden.
a) Der Grundbesitzer will so wenig wie möglich Grund verlieren. Wie ist der Zaun
zu ziehen (= Gleichung der Geraden)?
b) Wie lande ist der Zaun?
c) Wie groß ist das abgetrennte Flächenstück?
17. Wohnraumausnützunq:
Ein Haus soll einen rechteckigen Grundriss erhalten und bis zur Dachtraufe 7 m
hoch sein. Darüber erhebt sich ein Giebeldach mit einem Neigungswinkel von 45°.
Die Außenmauern bestehen also aus zwei Rechtecken und zwei unregelmäßigen
Fünfecken, deren Gesamtfläche 430 m2 beträgt.
Wie sind die Abmessungen des Grundrechteckes zu wählen, wenn der quaderförmige
Raum bis zur Dachtraufe für das Wohnen gedacht ist und möglichst groß sein soll?
18. Bewegungsaufgabe:
Zwei Körper bewegen sich gleichförmig auf geraden Bahnen in Richtung des
Schnittpunktes. Die Bahnen schließen den Winkel ß ein. Die Entfernungen zum
Schnittpunkt betragen a bzw. b (in m), die Geschwindigkeiten c1und c2 (in m/s).
a) Wann ist die Entfernung der beiden Körper am kleinsten?
b) Welche einfachere Beziehung ergibt sich für ß = 90°?
c) Welche Ergebnisse erhält man für a = 100 m, b = 80 m, c1
= 10 m/s, c2 = 15 m/s, b = 60° ?
19. Kellerfenster:
Ein Kellerfenster soll die Form eines Rechteckes mit aufgesetztem Halbkreis
erhalten. Der Umfang soll U sein. Wie sind die Abmessungen des Rechteckes zu
wählen, dass das Fenster möglichst viel Licht einlässt?
20. Kanal:
Ein Kanalquerschnitt soll die Form eines Rechteckes mit aufgesetztem Halbkreis
erhalten. Die Querschnittsfläche soll A sein. Wie sind die Abmessungen des
Rechteckes zu wählen, damit für die Ummauerung so wenig wie möglich Material
gebraucht wird?
21. Wir bauen ein Zelt:
Aus 4 Stangen der Länge s soll eine Zeltpyramide mit quadratischer Grundfläche
und möglichst großem Volumen hergestellt werden!
h = Höhe der Pyramide
22. Umsatz steigern:
Ein Verlag hat durch eine Umfrage festgestellt, dass zu den 1000 Beziehern einer
Zeitschrift immer dann weitere 100 hinzukommen würden, wenn man den
ursprünglichen Bezugspreis von 300.- um jeweils 10.- senken würde.
Welcher Preis ist für den Verlag am günstigsten?
23. Kegel mit unendlich vielen eingeschriebenen Zylindern:
Gegeben ist ein Kegel, dessen Höhe doppelt so hoch ist wie sein Radius R.
Diesem Kegel ist der volumsgrößte Zylinder einzuschreiben. Wie groß ist dieses?
In welchem Verhältnis steht es zum Kegelvolumen?
Dem Restkegel ist auf gleiche Art wieder ein Zylinder einzuschreiben, u.s.w. Wie
groß ist das Volumen aller Zylinder? In welchem Verhältnis steht es zum
Kegelvolumen?
24. Wohnfläche:
Ein Haus mit rechteckigem Grundriss hat 25 cm dicke Außenwände. Zwei zueinander
parallele Zwischenwände sind 10 cm dick. Die Querschnittfläche der Mauern soll
14 m2 nicht überschreiten (Türen und Fenster bleiben unberücksichtigt). Welche
Außenmaße hat dieses Haus, wenn die Wohnfläche maximal sein soll?
25. Käseglocke:
In einer halbkugelförmigen Käseglocke (R = 12 cm) sollen ein Stück
zylinderförmiger Käse (Nährwert 9 kJ/cm3) und ein Stück kugelförmiger
Käse mit 18 kJ/cm3 Nährwert untergebracht werden. Bei
welchen Dimensionen ist die Energie maximal?
26. Flüssigkeitstransport im Baum:
Der Wassertransport im Hauptstamm eines Baumes unterliegt einem geringeren
Widerstand als in den verzweigenden Ästen. Das Verhältnis der Widerstände ist
artspezifisch. Es lässt sich zeigen, dass es daher für jede Abzweigung einen
zeitoptimalen Winkel gibt, unter dem der Ast aus dem Hauptstamm wachsen muss, um
Wasser und Nährstofftransport möglichst gut funktionieren zu lassen. Angenommen,
ein Blatt eines Mostbirnenbaumes befindet sich in 4 m Höhe über dem Boden und
sitzt auf einem Ast 1,5 m (waagrecht) vom Stamm entfernt. Im Hauptstamm sei die
Fließgeschwindigkeit 1,2 mal so groß wie im abzweigenden Ast. Welcher Winkel ist
dann optimal?
27. Zwei Freunde:
Ein junger Mann befindet sich in einem Mietboot auf einem See. Er hat sich 300 m
in normaler Richtung zum geradlinig verlaufenden Ufer vom Bootssteg entfernt und
will in kürzester Zeit seine Freundin erreichen, die sich 500 m vom Steg
entfernt am Strand sonnt. Wo muss der junge Mann landen, wenn er in 1 Stunde 5
km weit gehen, aber nur 4 km/h rudern kann? Wie lange ist er unterwegs?
Weitere Extremwertaufgaben:
28)Ein Schraubbolzen soll so konstruiert werden, dass ein Schraubgang genau die Länge 20mm haben soll. Die Festigkeit der Verschraubung ist bei größerer Oberfläche des zylindrischen Bolzens ebenfalls größer. Wie muss der Bolzen für einen Schraubgang dimensioniert werden, damit die Oberfläche (= Zylindermantel) maximal wird ?
29.Es soll ein Sportplatz bestehend aus einer 400m Rundbahn und einem im inneren der Laufbahn gelegenen rechteckigen Spielfeld angelegt werden. Wie muß man die Laufbahn dimensionieren, wenn sie aus 2 Habkreisen und 2 geraden Strecken gebaut werden soll, damit das Spielfeld maximale Fläche bekommt ? Vergleiche die Lösung mit der Realität !
30.Ein Fahrzeug soll von einem im Gelände gelegenen Punkt A möglichst rasch zu einem auf einer Straße gelegenen Punkt B gelangen. Die Geschwindigkeit im Gelände beträgt 15 km/h, die Geschwindigkeit auf der Straße beträgt 25 km/h. Der Abstand des Punktes A von der Straße beträgt 3 km, der Abstand von B zur Abstandslinie von A auf der Straße beträgt 7 km. Welchen Weg muss das Fahrzeug nehmen?
31. Berechne die Schnittwinkel der Kurven y = 2sin²x und y=cos(2x) (L:60) Diskutiere auch beide Kurven !
32. Ein rechteckiges Stück Land mit einem Teich ist an 2 aneinanderliegenden Seiten durch Straßen begrenzt. Ein Endpunkt des Teiches ist von den Straßen 256 bzw 108m entfernt. Bestimme die Länge des kürzesten Weges, der über das Stück Land geht, am Endpunkt des Teiches vorbeigeht und die beiden Straßen verbindet. (L: 500)
33. Die Seitenwand eines Gebäudes soll durch einen Balken abgestützt werden, der über eine 10m hohe, zur Wand parallele, Mauer gelegt werden muß. Diese ist 8m vom Gebäude entfernt. Wie lang ist der kürzeste Balken den man benützen kann ?
34. In 28km Abstand von einem geradlinigen Kanal liegt eine Stadt A , während am Kanal in 45kmEntfemung von dem A am nächsten gelegenen Punkte des Kanals die Stadt B liegt. An welcher Stelle des Kanals muss der Warenumschlag stattfinden, wenn die Transportkosten möglichst klein sein sollen und die Landfracht 167% der Wasserfracht beträgt ?
35. Das Drahtseil einer Seilbahn überbrückt einen Graben von 100 m Breite bei einem Höhenunterschied von 25 m. Seine Form kann näherungsweise durch eine Polynomfunktion f vom Grad 2 beschrieben werden. Im unteren Aufhängepunkt A hat f die Steigung -1/4. Stelle eine Termdarstellung für diese Polynomfunktion auf! An welcher Stelle ist das Seil am tiefsten und wie tief ist es dort unter dem Aufhängepunkt A? Ab welcher Stelle ist das Seil mindestens so hoch wie in A? Wie groß ist das Maß des Winkels, unter dem das Seil im oberen Aufhängepunkt B zur Horizontalen geneigt ist?
36. Ein Masseteilchen bewegt sich auf einer Geraden nach dem Gesetz
a) Wann wächst die Geschwindigkeit und wann fällt sie ?
b) Wann wechselt die Bewegungsrichtung?
c) Welche Strecke wurde nach 3 sec zurückgelegt ?
37. Eine Kugel wird mit 34,3m/sec senkrecht nach oben geschossen und bewegt sich
gemäß 
wobei s die Entfernung vom Ausgangspunkt ist.
Bestimme
a) die Geschwindigkeit und Beschleunigung für t=3 und t=4
b) die größte erreichte Höhe
c) Wann beträgt die Höhe 29,4 m
38. Die elektrische Stromstärke in einem Wechselstromkreis gehorcht dem Gesetz
In welchem Zeitpunkt ist sie am größten ?
39:
Ein dreieckiges
Grundstück soll durch eine möglichst kurze Strecke halbiert
werden.
40:
Die Entfernung einer Lokomotive von einem festen Punkt einer
geraden Eisenbahnlinie zur Zeit t ist durch s(t)=3t^4 -
44 t^3 + 144 t^2 gegeben . Wann fährt die Lokomotive rückwärts ?
41:
Wie muss man eine
Konservendose dimensionieren damit diese bei 1 Liter Inhalt
möglichst geringen Materialverbrauch hat?
42.
Zwei Fahrzeuge sind von einer
Straßenkreuzung 35 bzw. 42 km entfernt. Ihre
Geschwindigkeiten betragen 60 bzw. 80 km/h, ihre Entfernung
von einander beträgt 21 km.
d) Wie groß ist der Kreuzungswinkel?
b) Wann ist der Abstand der Fahrzeuge am kleinsten ?
c) Wann beträgt der Abstand 15 km ?
d) Stelle den Abstand als Funktion der Zeit graphisch dar
und interpretiere den Verlauf der Kurve.
43.
Ein Problem von Johannes Kepler:
Ein Fass hat die Gestalt eines geraden
Zylinders. In halber Höhe des Zylinders ist der Mittelpunkt
des Spundloches. Der Abstand dieses Mittelpunktes vom
entferntesten Punkt eines Grundkreises ist a cm . Wie groß
müssen der Durchmesser des Grundkreises und die Fasshöhe
sein, damit das Fassvolumen den größten Wert annimmt ?
44.
Ein Grundstück
( siehe Plan ) soll mit einem Telekabelanschluss versehen
werden. Dazu wird von einer Seite des Grundstücks in E eine
Abzweigung zum Punkt P des Grundstücks verlegt und dann
wieder in geradliniger Fortsetzung zur anderen
Grundstücksseite geführt.
a) Erstelle eine Längenfunktion, die diesen Sachverhalt in
Abhängigkeit von geeigneten Parametern beschreibt.
b) Wie lang ist die kürzestmögliche Strecke EF ? Wie lauten
die Randwerte des Problems ?Wie
weit von D entfernt liegt der Abzweigungspunkt E ? Wie hoch
sind die Verlegekosten bei einem Preis von 3200.-S /m ?
c) Um einen alten Baumbestand zu bewahren, entschließt man
sich zu einem Abzweigungspunkt G, der 7m von D entfernt ist.
Um wie viel % ist der neue Kabelverlauf teurer als der
optimale ?
45.
Zur Standardausrüstung von Sternwarten zählt ein
Fernrohrtyp. der nach seinem Erfinder als Schmidtspiegel
bezeichnet wird. Vor einem sphärischen (= kugelförmigen)
Hohlspiegel wird eine Korrektur1inse angebracht, deren
Profil auf der einen Seite durch eine Strecke. auf der
anderen Seite durch die Funktion
festgelegt ist. Dabei ist x der Abstand von der Linsenmitte . r der Linsenradius, R der Radius des Hohlspiegels und n der Brechungsindex des Linsenglases
46.
Wie lautet die Funktionsgleichung der Profilkurve einer
SCHMIDT-Korrekturlinse für r = 10 cm, R = 40 cm und n = 1,5?
Diskutiere die Profilkurve und ermittle, wie dick der
Linsen-Rohling mindestens sein muss, wenn die fertige Linse
an ihrer dünnsten Stelle 1 cm dick sein soll!
47.
Die Flugbahn eines im Punkt P(0/h) waagrecht abgeschossenen
(sehr kleinen) Hartgummiballs wird durch ein Polynom 2.
Grades beschrieben. Auf die durch die Gleichung x = m
gegebene lotrechte Wand trifft er in einer Höhe n und wird
dort (Einfallswinkel = Ausfallswinkel) reflektiert. Wo und
unter welchem Winkel schlägt er am Fußboden auf?
h = 9, m = 4, n = 5
48.
Eine Telefonleitung überbrückt zwischen zwei gleich hohen,
auf einem eben ansteigenden Hang stehenden Stützen eine
Horizontalentfernung von s Metern und einen Höhenunterschied
von h Metern. Ihre Form kann durch ein Polynom 2. Grades
modelliert werden.
Unter welchem Winkel wirken die Zugkräfte auf die obere bzw.
untere Stütze, wenn der Durchhang des Seiles d Meter
beträgt? Wo befindet sich der Punkt des Seiles mit dem
kleinsten Abstand zum Gelände? Wie hoch müssen die Stützen
mindestens sein, wenn der Vertikalabstand v vom Boden
mindestens 4 m betragen soll?
s = 40 m, h =
8 m, d = 4 m
