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Komplexe Zahlen

Wahrscheinlichkeitsrechnung

Übungsaufgaben: 

1.
 Beweise die Körpergesetze in C !

 2.
Es sei z = 2+ i, w = 1 - i    Berechne: z+w, z-w, z*w, z/w, abs(z), z², z³ manuell und kontrolliere mit DR.

3.
Löse in C : z + (1-i)z = (4+3i)z

5.
Leite eine Formel zur Berechnung der Potenzen der Zahl i her

6.
Leite die Rechenregeln für das Rechnen mit Polarformen her. Beweise den Satz von Moivre

7.
Bestimme jeweils alle anderen Darstellungsformen

a) 3-2i      b) (5;4,6)        c) 2e^2,5i

8.
a) Beweise die Existenz  eines neutralen und inversen Elemets für die Multiplikation im Körper C
b) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle:

Binomialform	Polarform	Exponentialform
3 - i

c) Berechne  

9.
Ein Schiff befinde sich im Punkt O+Oi eines kartesischen Koordinatensystems mit Kurs auf den Punkt 2+5i und Geschwindigkeit 12sm/h. Nach 2h wird die Richtung von 2+5i auf 6+2i geändert und die Geschwindigkeit auf 18 sm/h erhöht. Wo befindet sich das Schiff nach weiteren 4Stunden? Wie weit ist es vom O Punkt entfernt?
 

10.
Ein Mann fährt 12km NNO danach 20km N40°W und schließlich 18km W70°S. Bestimme wie weit und in welcher Richtung er sich vom Ausgangspunkt befindet.

13.
Ein Flugzeug fliegt vom Flughafen A 300 km N35°W dann 240 km N 78°W und schließlich 180 km N25°O  An diesem Punkt erfolgt eine Notlandung. Auf welchem Kurs und in welcher Entfernung vom Flughafen A ist die Absturzstelle zu suchen ?  Wie lange benötigt man bei 700 km/h auf direktem Weg zur Absturzstelle ?

14.
Die Funktion f(z)=a*z bildet den Punkt 2-i einer ebenen Fläche auf 1+5i ab. Durch welchen Faktor a wird diese Bewegung erzielt ?

15.
Eine Ebene Fläche soll  um den Nullpunkt um 150° in positiver Drehrichtung gedreht werden ( D.h. jeder Punkt der Ebene wird gedreht !). Welche Funktionsgleichung leistet dies ? Wo ist das Bild von 2+i unter dieser Funktion zu suchen ? Eine „ Gummiebene“ wird so auseinandergezogen, dass jeder Punkt auf seine 5fache Entfernung vom 0-Punkt gezogen wird. Dann wird die Ebene um 180° gedreht. Bestimme die Funktionsgleichung für diesen Vorgang.

.
a) Beweise das Distributivgesetz und die Kommutativgesetze im Körper C
b) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle ohne Verwendung der Hilfsdatei komplex.mth:

17.
Auf einem Schulfest wird das folgende "Feuerwehrspiel" angeboten. In einer Urne sind fünf bis auf die Beschriftung gleiche Kugeln; zwei tragen die Aufschrift ,,1", drei die Aufschrift ,,2". Man zieht dreimal je eine Kugel und legt diese nicht in die Urne zurück. Der Einsatz beträgt 1 €. Zieht man den Feuerwehrnotruf 122, so erhält man 5 € (dh. 4 € Gewinnprämie und 1 € Einsatzrückerstattung) , ansonsten" verbrennt" der Einsatz. Gib alle möglichen Spielverläufe (samt Wahrscheinlichkeiten) an! Wie groß ist die Gewinnchance (1) für den Spieler, (2) für die Bank? Ist das Spiel "fair"?2 20.
Zenzi Zollfrei nähert sich mit a) 38, b) 49 anderen Personen in einem Autobus der Grenze.
Angesichts ihrer erschöpften Urlaubskassa wankt ihr Gewissen, ob sie das Urlaubsmitbringsel ordnungsgemäß verzollen soll. Aus Erfahrung weiß sie, dass immer 2 Insassen vom Zöllner zufällig ausgewählt und genau untersucht werden. Wie groß ist für sie die Chance, kontrolliert zu werden?
Lösung 17

18.
Die Zwillinge Peter und Paul Faul sind wieder einmal für die Stundenwiederholung in Mathematik nicht vorbereitet. Sie wissen, dass stets zwei Schüler zur Prüfung zufällig ausgewählt werden. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass (1) sowohl Peter als auch Paul, (2) Peter, aber nicht Paul, (3) Paul, aber nicht Peter, (4) Peter, (5) Paul, (6) dass weder Peter noch Paul zur Stundenwiederholung drankommen, wenn insgesamt 20 Schüler anwesend sind?
Lösung 18

 19.
Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem durchschnittlichen Ausschussanteil von 3 %, wobei der Fehler rein zufällig auftritt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass unter einer Serie von 20 Stück (1) kein, (2) genau ein Stück Ausschuss ist?
b) Wie viel Stück Ausschuss muss man unter 20 Stück erwarten und um wie viel schwankt dieser Wert voraussichtlich nach oben und unten?
c) Ein ordnungsgemäß erzeugtes Stück bringt einen Gewinn von 2 €, ein Stück Ausschuss einen Verlust von 5 €. Mit welchem Gewinn darf man bei einer Produktion von 10 000 Stück rechnen?
Lösung 19

20.
Bernhard und Brigitte spielen ein Tischtennisturnier. Bernhard gewinnt ein Spiel mit der Wahrscheinlichkeit 0,6, Brigitte daher mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Es werden a) 3 Spiele, b) 5 Spiele, c) 7 Spiele, d) 9 Spiele gespielt. Wer die Mehrheit der Spiele gewinnt, ist Sieger.
(1) Wie groß sind Brigittes Chancen, als schlechtere Spielerin das Turnier zu gewinnen?
(2) Wie groß ist die Chance, dass Brigitte ohne Spielverlust das Turnier beendet?

Lösung 20
21.
Julia und Rupert spielen ein Tennismatch auf 3 gewonnene Sätze. Julia gewinnt mit der Wahrscheinlichkeit 0,6, Rupert mit der Wahrscheinlichkeit 0,4. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit a) für Julia, b) für Rupert, (1) das Match ohne Satzverlust zu gewinnen?
(2) das Match in 4 Sätzen zu gewinnen?
(3) das Match in 5 Sätzen zu gewinnen?
Lösung 21

22.
Eine Samenhandlung verkauft Briefchen, die je 200 Samen mit der Sortenreinheit von 98 % enthalten.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einem solchen Päckchen (1) mehr als 6. (2) genau 6 (3) mindestens 6 falsche Samen enthalten sind?
Lösung 22

23.
Eine Eisenwarenhandlung verkauft Schrauben in Packungen zu je 250 Stück mit einem Ausschussanteil von 3 %.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer solchen Packung (1) weniger als 6, (2) genau 6, (3) höchstens 6 defekte Schrauben sind?
Lösung 23

24.
Erfahrungsgemäß erscheinen 4 % aller Fluggäste, die Plätze reservieren ließen, nicht zum Flug. Die Fluggesellschaft weiß dies und verkauft a) 75 Flugkarten für 73 verfügbare Plätze, b) 125 Flugkarten für 121 verfügbare Plätze. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese - in der Praxis übliche - Überbuchung gut geht?
Lösung: download/su38-11.dfw


25.
Erfahrungsgemäß nehmen 8 % aller Hotelgäste, die ein Zimmer reservieren ließen, dieses nicht in Anspruch. Das Hotelmanagement weiß dies und reserviert a) 28 Zimmer, obwohl nur 26 verfügbar sind, b) 48 Zimmer, obwohl nur 45 verfügbar sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass diese - in der Praxis übliche - Überbuchung gut geht?
Lösung: download/su38-12.dfw


26.
Ein Zeitschriftenvertreter behauptet, in 80% der Verkaufsgespräche ein Abonnement zu verkaufen. Man will ihm glauben, wenn er morgen a) bei 20 Verkaufsgesprächen mindestens 12, b) bei 25 Verkaufsgesprächen mindestens 14 Abonnements verkauft. Ermittle die Irrtumswahrscheinlichkeit des Tests!
Lösung 26

27.
Ein Staubsaugervertreter behauptet, in 30% der Verkaufsgespräche einen Staubsauger zu verkaufen. Man will ihm glauben, wenn er morgen a) bei 20 Verkaufsgesprächen mindestens 8, b) bei 25 Verkaufsgesprächen mindestens 10 Staubsauger verkauft. Ermittle die Irrtumswahrscheinlichkeit  des Tests!
Lösung 27

28.
Erfahrungsgemäß bestehen a) 40%, b) 60% der Kandidaten eine Wiederholungsprüfung. Ein Nachhilfeinstitut behauptet von sich, dass die von ihm betreuten Kandidaten besser seien. Zum Beweis führt es an, dass von 20 Kandidaten nur 3 durchgefallen seien. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man die Behauptung, dass seine Kandidaten auch nicht besser sind als zufällig gewählte andere, verwerfen? 
Lösung 28

29.
Bei der letzten Wahl errang die Partei X 40% der Stimmen. Ein Jahr danach berichten die Meinungsforscher, dass von 100 Personen bei einer Wahl "am nächsten Sonntag " 50 für die Partei X votieren würden. Ist die Partei X stärker oder schwächer geworden ?
Lösung 29

 30.
Angeblich benützen 30% aller Hausfrauen das Waschmittel Jumbo. In einer Umfrage geben von 100 Hausfrauen 43 an Jumbo zu benützen.
a) Ist dieses Ergebnis signifikant (hochsignifikant) besser als die Annahme ?
b) Der Hersteller nimmt nun an dass 40% der Hausfrauen Jumbo benützen. Nach einiger Zeit wird eine neue Umfrage unter 100 Hausfrauen durchgeführt wobei 27 Benutzer ermittelt werden. Ist der Absatz von Jumbo nun signifikant schlechter geworden ?
c) In einer weiteren Umfrage unter 78 Hausfrauen ermittelt man 23 Benutzer. Hat sich der Anteil der Jumbobenutzer signifikant verändert wenn man das Umfrageergebnis der letzten Umfrage zugrunde legt ?

 31.
Bei der Herstellung von Motorbauteilen erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 2% angenommen. Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 50 Stück zwischen 3 und 8 fehlerhafte Stücke ?
b) Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 40 Stücken 5 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen ?
c) Bei einer Reklamation wird eine hochsignifikante Veränderung der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 60 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren ?

Übungs SA  1 (Arbeitszeit 50 Minuten):

Achtung: Keine Hilfsdateien sind erlaubt!

1. Berechne: 

Gegeben: z = 1+i   w= 2 – i      

a) Berechne:  1) z+w    2) z-w  3) z*w  4) z/w  5) |z|   6) z1/5  g)conj(z)

b) Welche Bedeutung hat Conj(z) für weitere Rechenoperationen in C ?

c) Beschreibe den Zusammenhang der Zahlenbereiche N =>Z=>Q=>R=>C

2.
a) Ergänze die folgende Tabelle: 

b) Wie lauten die Körpergesetze?  Warum bilden diese eine wichtige Basis für das Rechnen i.A. ?

3.
In einem Produktionsprozess werden die Produkte an 3 Standorten hergestellt. A produziert 30% B 50% und C20% Anteil der Gesamtproduktion. Der Anteil fehlerhafter Stücke beträgt bei A 3% bei B 4% und bei C 6%.

a) Zeichne in Baumdiagramm
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beliebig gewähltes Stück fehlerhaft?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt ein defektes Stück von B?

 4.
In einem Produktionsprozess erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 6% angenommen.
Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet.

a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 80 Stück zwischen 5 und 10 fehlerhafte Stücke ?
b)
Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 50 Stücken 8 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen?
c)
Bei einer Reklamation wird eine signifikante (hochsignifikante) Zunahme der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 80 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren?

 

Übungs SA  2 (Arbeitszeit 50 Minuten):

Achtung: Keine Hilfsdateien sind erlaubt!

1.
Berechne ausführlich ohne Derive – jeder Schritt ist auszuführen: 

Gegeben: z = 1-i   w= 2 + i      

 a) Berechne:  1) z+w    2) z-w  3) z*w  4) z/w 

b) Ergänze die folgende Tabelle: 

c)
Ein Flugzeug fliegt vom Flughafen A 500 km N45°W dann 340 km W und schließlich 280 km N15°O  An diesem Punkt erfolgt eine Notlandung. Auf welchem Kurs und in welcher Entfernung vom Flughafen A ist die Absturzstelle zu suchen ?  Wie lange benötigt man bei 600 km/h auf direktem Weg zur Absturzstelle ?

2.
In einem Produktionsprozess werden die Produkte an 3 Standorten hergestellt. A produziert 10% B 30% und C60% Anteil der Gesamtproduktion. Der Anteil fehlerhafter Stücke beträgt bei A 5% bei B 3% und bei C 1%.

a) Zeichne in Baumdiagramm
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist beliebig gewähltes Stück fehlerhaft?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt ein defektes Stück von C?

 3.
 In einem Produktionsprozess erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 4% angenommen.
Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet.

a)
Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 50 Stück zwischen 3 und 7 fehlerhafte Stücke ?
b)
Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 50 Stücken 8 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen?
c)
Bei einer Reklamation wird eine signifikante (hochsignifikante) Abnahme der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 100 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren?
 

Übungs SA  3 (Arbeitszeit 50 Minuten):

1.
 Zeige: Die Menge der komplexen Zahlen bildet einen Körper

2.
a) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle:

Binomialform	Polarform	Exponentialform
3 - 2i

b) Berechne  

3.
Ein Flugzeug fliegt vom Flughafen A 300 km O68°N dann 440 km N 12°W und schließlich 350 km N25°O  An diesem Punkt erfolgt eine Notlandung.
a) Auf welchem Kurs und in welcher Entfernung vom Flughafen A ist die Absturzstelle zu suchen ?
b) Stelle den Lösungsvektor auf 4 Arten dar.
c) Wie lange benötigt man bei 700 km/h auf direktem Weg zur Absturzstelle ?

4.
Gib folgende Funktionen an:

1. Drehung um +100°

2. Streckung auf die doppelte Größe

3. Streckung auf 150%  Drehung um 180° und Schiebung um 3cm parallel zur x- Achse

4. Streckung auf 75%  Drehung um -90° und Schiebung um 3cm parallel zur 1. Mediane

Übungs SA  4 (Arbeitszeit 50 Minuten):

1. Zeige: Die Menge der komplexen Zahlen bildet einen Körper

2.
a) Ergänze die fehlenden Zellen der folgenden Tabelle:

Binomialform	Polarform	Exponentialform
2 - 3i

b)) Berechne  

3.
Ein Flugzeug fliegt vom Flughafen A 200 km O48°N dann 540 km N 25°W und schließlich 450 km N70°O  An diesem Punkt erfolgt eine Notlandung.
a) Auf welchem Kurs und in welcher Entfernung vom Flughafen A ist die Absturzstelle zu suchen ?
b) Stelle den Lösungsvektor auf 4 Arten dar.
c)Wie lange benötigt man bei 650 km/h auf direktem Weg zur Absturzstelle ?

4.
Gib folgende Funktionen an:

1. Drehung um +80°

2. Streckung auf die doppelte Größe

3. Streckung auf 180%  Drehung um 180° und Schiebung um 3cm parallel zur y- Achse

4. Streckung auf 65%  Drehung um -90° und Schiebung um 3cm parallel zur 1. Mediane