1.Beweise: Ausführlich und schrittweise dokumentiert

a) Aus y = f1(x)+f2(x)+...+fn(x) folgt y´=f1´(x)+f2´(x)+...+fn´(x)

( Ind. --> Vorr. y=f1+f2 =>Y´=f1´+f2´)

b) Aus y = c folgt y´=0

c) Aus y = kx+d folgt y´=k

2) An die Kurve y = x³ - 2x soll in x1=1 die Tangente und Normale gelegt werden. Fertige danach eine genaue Funktionsskizze mit Tangente und Normale an !

3) Ermittle den Schnittwinkel der Kurven y = x²-4 und y = 0,5x²+4 ! Überprüfe durch genaue Zeichnung. ( Anl.: Der Schnittwinkel ist der Winkel zwischen den Tangenten im Schnittpunkt. Überlege - [1,f´(x_s)] ist ein Richtungsvektor der Tangente )

4) Gib eine Formel für Tangente und Normale an eine Kurve in Parameterform an !

5) Auf der Kurve y = 1/3x³-2x+1 werden die beiden Punkte P1 und P2 mit den Abszissen x₁ = 1 und x₂ = 3 durch die Sehne verbunden. Gibt es eine Tangente die in diesem Intervall zur Sehne parallel verläuft ? Wenn ja, in welchem Punkt ?

6) Verallgemeinere Beispiel 5) - Gibt es immer eine Tangente die parallel zur Intervallsehne verläuft ? Kann es mehrere Tangenten geben ? Welche Voraussetzungen muss man beachten ?

7) Vom Punkt P(0/-2) soll eine Tangente an y = 2x²+x-1 gezogen werden. Wo liegen die Berührungspunkte ? Kontrolle durch Zeichnung mit Derive.

8. Berechne die Schnittwinkel der Kurven y = 2sin²x und y=cos(2x)      (L:60) Diskutiere auch beide Kurven !

9. Ein Masseteilchen bewegt sich auf einer Geraden nach dem Gesetz

a) Wann wächst die Geschwindigkeit und wann fällt sie ?
b) Wann wechselt die Bewegungsrichtung?
c) Welche Strecke wurde nach 3 sec zurückgelegt ?

10. Eine Kugel wird mit 34,3m/sec senkrecht nach oben geschossen und bewegt sich gemäß  wobei s die Entfernung vom Ausgangspunkt ist. Bestimme

a) die Geschwindigkeit und Beschleunigung für t=3 und t=4
b) die größte erreichte Höhe
c) Wann beträgt die Höhe 29,4 m

11. Alle Aufgaben von SU04

12. Ermittle durch manuelle Grenzwertbildung die Ableitung:

a) y= x²     b) y=x³     c) y=2x²-2x-1     d) y=3x²+x     c) y=x³-x+2     c) y=4x³-3x
= Kontrolle mit Derive

Übungsarbeit 1:

3 und 4 sind ohne Rechner zu erledigen!

1.
a) Berechne die Schnittwinkel der Kurven y = 2cos²(x) und y=sin(2x)
b) Diskutiere auch beide Kurven! (Periodizität, Nullstellen, Extrema und Wendepunkte im Grundintervall [0, 2pi] )

 2.
Das Drahtseil einer Seilbahn überbrückt einen Graben von 100 m Breite bei einem Höhenunterschied von 25 m. Seine Form kann näherungsweise durch eine Polynomfunktion f vom Grad 2 beschrieben werden. Im unteren Aufhängepunkt A hat f die Steigung -1/4. A soll als Ursprung eines Koordinatensystems angenommen werden.

1) Stelle eine Termdarstellung für diese Polynomfunktion auf!
2)An welcher Stelle ist das Seil am tiefsten und wie tief ist es dort unter dem Aufhängepunkt A?
3)Ab welcher Stelle ist das Seil mindestens so hoch wie in A?
4)Wie groß ist das Maß  des Winkels, unter dem das Seil im oberen Aufhängepunkt B zur Horizontalen geneigt ist?

 3.
Ermittle die Ableitungen durch Grenzwertbildung:

a)            b)

c) Erkläre den Begriff Differenzenquotient 

4.
Bestimme die Ableitung durch Anwendung der Ableitungsregeln (manuelles differenzieren). Alle Zwischenschritte sind ohne weitere Vereinfachung auszuführen.

a)                                             

b) 

c)  

d)  

e)

 f) Beweise:

Übungsarbeit 2:

1.
Beamon, Bob (*1946), amerikanischer Leichtathlet; Olympiasieger im Weitsprung 1968, mit seinem legendären 8,90-Meter-Sprung gelang ihm ein sensationeller Weltrekord, der 23 Jahre Bestand hatte.

Beamon wurde am 29. August 1946 im New Yorker Stadtteil Queens geboren und wuchs in ärmlichen Verhältnissen auf. Nach dem Besuch der High School erhielt er ein Leichtathletikstipendium, das ihm ein Studium der Soziologie und Anthropologie ermöglichte (Abschluss 1970 an der University of El Paso, Texas). Nachdem er seine sportlichen Ambitionen im Basketball begonnen hatte, wechselte er Anfang der sechziger Jahre zur Leichtathletik (Sprint und Weitsprung). 1962 konnte er im Alter von 15 Jahren bereits eine Bestleistung von 7,34 Metern vorweisen. Sein erster großer Erfolg war ein zweiter Platz im Weitsprung bei den Panamerikanischen Spielen 1967. Es folgten der Titel bei den US-Hallenmeisterschaften 1967 und 1968.

Mit einer Weite von 8,33 Meter (zwei Zentimeter unter dem von Ralph Boston 1965 aufgestellten Weltrekord) siegte Beamon 1968 bei den amerikanischen Meisterschaften in Sacramento und qualifizierte sich damit für die Olympischen Spielen in Mexiko-Stadt, wo er für eine „Sternstunde der Leichtathletik" sorgte. Begünstigt durch die Höhe von Mexiko-Stadt (2 350 Meter über dem Meeresspiegel) und den maximal zulässigen Rückenwind von zwei Metern pro Sekunde gelang ihm bereits im ersten Versuch mit 8,90 Metern ein fabelhafter neuer Weltrekord, der als „Jahrhundertsprung" in die Annalen der Leichtathletik einging. Diese Bestmarke schien lange Zeit unerreichbar, Beamon selbst sprang nie wieder weiter als 8,22 Meter. Anfang der siebziger Jahre wurde Beamon mit mäßigem Erfolg Basketballprofi bei den Harlem Globetrotters, ein Comebackversuch als Weitspringer scheiterte. Nach Beendigung seiner sportlichen Karriere im Jahr 1972 arbeitete Beamon ab 1979 drei Jahre lang als Leichtathletiktrainer beim mexikanischen Sportverband, später war er für das amerikanische NOK tätig sowie als US-Generalvertreter für einen namhaften Sportartikelhersteller. Erst 1991 schaffte es der Amerikaner Mike Powell bei den Leichtathletikweltmeisterschaften in Tokyo mit einer Weite von 8,95 Metern, Beamons legendären Rekord auszulöschen. Bob Beamon arbeitet heute wieder in seinem erlernten Beruf als Sozialarbeiter, 1994 rief er eine Stiftung zur Unterstützung unterprivilegierter Schwarzer ins Leben.

Aus den Geschwindigkeiten Vx und Vz kann man die resultierende Geschwindigkeit VR bestimmen: V = √ ( Vx² + Vz² )
Der Abflugwinkel kann trigonometrisch bestimmt werden : sin ß = Vz / V ; cos ß = Vx / V ; tan ß = Vz / Vx
Wurfweite: W=(v^2*sin(2*β))/g