Die Polynomfunktion und ihre Nullstellen

Betrachten wir die Funktion

mit reellen Koeffizienten hat diese in C  n -Nullstellen. Wie wir wissen können wir die Funktion dann in der Form

schreiben. Dabei können nun  1. Gleiche Nullstellen  2. konjugiert komplexe Nullstellen auftreten.  Wie wirken sich die möglichen Fälle auf die Gestalt des Graphen aus?

Wir untersuchen die Funktion 2. Grades  => es gibt 2 Nullstellen des Polynoms in C  => das ergibt 3 Fälle:

Um dies zu untersuchen kann man etwa so vorgehen:

Ergebnis:

So kann man nun die Tabelle füllen:

Polynomnullstellen	Graph
2 reelle Nullstellen: Die Funktion schneidet die x-Achse in den gewählten Werten!
1 reelle Doppelnullstelle Die Funktion berührt die x-Achse in der Doppelnullstelle!
2 konjugiert komplexe Nullstellen Die Funktion schneidet die x-Achse nicht!

Übung und Hausübung:

Erstelle eine Tabelle nach diesem Muster von der Funktion a) 3. Grades   b)4. Grades

Überlege alle Fälle!!