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1.
In einer Lieferung von 1000 Schlachthühnern sei die Masse der Hühner normal verteilt mit dem Erwartungswert 185 dag und einer Standardabweichung 15 dag. Wie viele Hühner haben eine Masse
a) Unter 150 dag
b) über 200 dag
c) von mind. 160 dag
d) von höchstens 190 dag
c) zwischen 160 dag und 190 dag

Hinweise zur Lösung

2.
Bei 7 Würfen hat ein Handballer eine Trefferwahrscheinlichkeit von 0,6 gegen Tormann A und 0,7 gegen Tormann B. Was ist wahrscheinlicher: bei 9 Würfen gegen B mindestens 6mal oder gegen A höchstens 7 mal zu treffen ? Wie oft muss er gegen B werfen um mit einer Wahrscheinlichkeit von mind. 95% mind. einmal zu treffen ?

Hinweise zur Lösung: rp/Aufgaben/kern_2.dfw

3.
Ein Warenhaus bezieht Jeans von 3 verschiedenen Betrieben. Von 2000 Stück  stammen 800 vom Betrieb A, 700 Stück vom Betrieb B und der Rest vom Betrieb C.
Durch regelmäßige Stichproben weiß man, dass die Erzeugnisse vom 1. Betrieb mit einer Wahrscheinlichkeit von 2%, vom 2. Betrieb mit 3% und vom 3. Betrieb mit 5% fehlerhaft sind.
a) Erstelle eine graphische Darstellung des Sachverhalts.
b) Wie viele Jeans sind fehlerhaft ?
c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein fehlerhaftes Stück vom 2. Betrieb ?
Definiere die Begriffe "bedingte Wahrscheinlichkeit", " Unabhängigkeit " . Gib alle verwendeten Sätze an !

Hinweise zur Lösung rp/Aufgaben/beispiel3.dfw

4.
Die Gerade x =a schneidet von der Parabel ein Segment ab. Diesem Segment soll ein Rechteck mit möglichst großer F1äche eingeschrieben werden, wobei eine Seite auf der Geraden liegen soll. Ermittle die allgemeine Lösung und bestimme dann den Wert für a = 3 und p = 2. Begründe die Art des Extremwertes auf 2 Arten.

Hinweise zur Lösung

5.
Zu einem Tischtennisturnier treten 2 Spieler A und B an.
Es werden 10 Spiele ausgetragen wobei A die Gewinnchance p zukommt. Untersuche die Wahrscheinlichkeit "A gewinnt mind. k Spiele"

Hinweise zur Lösung

6.
Erläutere den Unterschied zwischen diskreten und stetigen Zufallsvariablen sowie deren Verteilungen.
Skizziere: die Dichtefunktion der N(0,1) verteilten Zufallsvariablen ( kann am PC erfolgen) und gib die Definition der allgemeinen Dichtefunktion. Erkläre den Einfluss der Parameter auf den Verlauf der Funktion.
Zeige an folgendem Beispiel wie sich relative Häufigkeiten mittels der standardisierten Normalverteilungsfunktion  abschätzen lassen:

In einem Supermarkt sind 4 Kassen, von denen angenommen werden kann, dass sie zu gleichen Teilen frequentiert werden. Am Ende der Woche stellt man folgende Frequenzen fest:

Berechne jeweils die Wahrscheinlichkeit der Abweichung vom Erwartungswert. Beurteile auf Signifikanzniveau!

Hinweise zur Lösung  rp/Aufgaben/bsp6-wahrscheinlichkeit.dfw

7.
Gegeben sind die beiden Funktionen
a) Fertige eine Grafik beider Funktionen an und diskutiere deren Verlauf.
b) Berechne die von den Funktionen zwischen den Schnittpunkten eingeschlossenen Fläche A1.
c) An welchen Stellen sind die Funktionsgraphen am weitesten entfernt? (Abstand normal zur x-Achse ?)
 

Hinweise zur Lösung

8.
Der Anteil von alkoholisierten Autolenkern liegt vermutlich bei 12 %. In einer Aktion "Planquadrat " werden  50 Lenker getestet. Polizist Wachsam wettet, dass dabei zumindest 18 alkoholisierte Lenker entdeckt werden. Beurteile seine Gewinnchance. Wie viele alkoholisierte Lenker muss Polizist Wachsam entdecken damit er von einer signifikanten Zunahme alkoholisierter Lenker sprechen kann ? Welche Faktoren beeinflussen diesen Test ?

Hinweise zur Lösung

9.
Eine Maschine produziert mit einem Ausschussanteil von p%. Ein Käufer bestellt 10 Probestücke.  Kommen höchsten i  Auschußstücke vor , kauft er die Maschine, andernfalls nicht. Erstelle eine Funktion die die Ankaufswahrscheinlichkeit in Abhängigkeit von der Ausschusswahrscheinlichkeit darstellt. Zeichne die Funktionsschar und interpretiere ihren Verlauf.

Hinweise zur Lösung

10.
Die Kurven y=6x-x² und y=x begrenzen ein Flächenstück.
        Stelle beide Funktionen graphisch dar, ordne sie einem Funktionstyp zu und diskutiere ihren Verlauf.
        Berechne die eingeschlossene Fläche.
        Bestimme das Volumen des Rotationskörpers der entsteht wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert.

Hinweise zur Lösung

11.
Eine Menge Q wächst mit einer Geschwindigkeit die proportional zu Q ist. Es ist Q(0)=25, Q(2)= 75. berechne Q(6) exakt und numerisch falls die Methode von Euler durchgenommen wurde. Löse die Differentialgleichung auch manuell!

Hinweise zur Lösung: rp/Aufgaben/kern_11.dfw

12.

Bestimme das Volumen das erzeugt wird, wenn man das Flächenstück, das durch y²=8x und x=2 begrenzt wird um die y- Achse rotiert.

13.
Von einem 45m hohen Turm wird ein Stein mit 5 m/s nach oben geworfen.

a) Ermittle v(t) und h(t)
b) Ermittle graphisch und rechnerisch Zeitpunkt und Geschwindigkeit des Aufpralls am Boden
c) Ermittle auch den höchsten Punkt der Flugkurve!

Hinweise zur Lösung

14.
Ein elektrischer Kondensator kann aufgeladen und entladen werden. Ein Kondensator mit der Anfangsladung Q₀ = 0,05 Coulomb wird entladen, wobei die Ladung exponentiell abnimmt. Nach 3,466 sec besitzt der Kondensator nur noch die halbe Ladung. Wie groß ist die Ladung nach einer Entladezeit von a) 2s b) 5s ? Stelle den Vorgang grafisch dar, löse mit Derive und manuell.

Hinweise zur Lösung: rp/Aufgaben/kern_14.dfw

15.
Gasflaschen mit 5 l Inhalt haben die Gestalt eines Drehzylinders mit aufgesetzter Halbkugel. Wie ist eine derartige Flasche zu dimensionieren damit der Materialverbrauch möglichst gering ist ? Untersuche die Fragestellung mit den Mitteln der Analysis sowie auch graphisch.

Hinweise zur Lösung  rp/Aufgaben/Bsp15_richtig.dfw

16.

Auf welchen Wert wäre ein zur Zeit von Christi Geburt angelegtes Kapital K = 1g bis heute angewachsen (p = 5%)? Stelle den Sachverhalt auch grafisch dar.

Hinweise zur Lösung  rp/Aufgaben/bsp16.dfw

17.

Ein Kapital von 1 S sei zum Wucherzinssatz p=100% angelegt Auf welchen Betrag wächst es in einem Jahr bei
a) ganzjährlicher b) halbjährlicher c) vierteljährlicher c) monatlicher e) täglicher f) stetiger  Verzinsung?

Hinweise zur Lösung rp/Aufgaben/bsp17-Zinsen.dfw

18.

,,Weinpantscher-Beispiel":

In einem Fass sind 100 1 Wein. Man entnimmt 1 I und gießt 1 I Wasser hinein Aus dieser Mischung entnimmt man 1 I und gießt wieder 1I Wasser ein. ... Wieviel Wein ist nach zehnmaliger derartiger Vorgangsweise noch im Fass? Wie oft muss man so verfahren, bis nur mehr 50 1 Wein im Fass sind?
Anleitung: Wenn die Mischung a I Wein enthält, dann werden bei Entnahme von 1 I aus dem Fass a/100 l Wein entnommen, so dass 99a/100 Wein verbleiben.

Hinweise zur Lösung

19.
In einer Stadt mit 40 000 Einwohnern breitet sich ein Gerücht aus. Zu einem bestimmten Zeitpunkt ist dieses Gerücht schon 20000 Einwohnern bekannt. Unter der Annahme eines exponentiellen Wachstums wächst die Zahl der ,,Wissenden" in jeder Stunde um denselben Bruchteil der gerade vorhandenen Anzahl von ,,Wissenden". Wenn aber viele Leute das Gerücht schon kennen, dann ist dies praktisch nicht mehr möglich. Wir nehmen daher nunmehr an die stündliche Zunahme der Wissenden sei ein bestimmter Bruchteil der noch nicht Wissenden. Das heißt: nunmehr erfahren stündlich das Gerücht beispielsweise 60% jener, die es noch nicht kennen. Untersuche diesen Vorgang.

Hinweise zur Lösung

20.
Ein Gegenstand hat im Kühlschrank eine Temperatur von 6° C. Er wird in eine Umgebung mit 20° C gebracht. Sein Temperaturzuwachs pro Minute beträgt 30% des Unterschiedes zwischen (der Grenze) 20° C und seiner Temperatur am Beginn dieser Minute. Erstelle eine Tabelle und einen Graphen des Temperaturverlaufes .

Hinweise zur Lösung: rp/Aufgaben/kern_20.dfw

21.
Herr Groß muss wegen einer chronischen Erkrankung täglich 2,5 mg eines bestimmten Medikaments zu sich nehmen. Sein Körper scheidet täglich 40% aus.
a) Schreibe ein Programm, das in einer Tabelle ausgibt, welche Menge dieses Medikaments nach 1, 2,.... 30 Tagen im Körper vorhanden ist.
b) Gib den täglichen Zuwachs durch eine Formel an, bestimme die Sättigungsgrenze G dieses Wachstums und begründe, warum es sich um ein begrenztes Wachstum handelt.

Hinweise zur Lösung

22.
Der Fischbestand eines Teiches entwickelt sich nach dem Modell des logistischen Wachstums: die Sättigungsgrenze des Bestandes liegt bei 400 Fischen. Es werden 20 Fische ausgesetzt. Der monatliche Wachstumsfaktor beträgt 0,001. Schreibe ein Programm, das den Fischbestand des Teiches nach 1,2. .., 24 Monaten in Form einer Tabelle ausgibt.

Hinweise zur Lösung    rp/Aufgaben/bsp22-diff_gleichung.dfw

23.
Ein Flugzeug befindet sich mit Kurs N49°W um 12.00 1040 km von München entfernt mit Höhe 8 km im geradlinigen Anflug auf München und wird München um 13.20 in gleicher Höhe überfliegen. Bestimme Fluggeschwindigkeit und Kursgleichung in Parameterform. Wähle als Parameter die Flugzeit mit Einheit 1 Stunde ! Das zugrundegelegte Koordinatensystem habe seinen Ursprung in München, die x-Achse sei die WO Richtung, die y-Achse die NS Richtung, die z-Achse die Richtung der Vertikalen.

Hinweise zur Lösung

24.
Bei der Herstellung von Maschinenbauteilen erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 2% angenommen. Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet.
a) Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt vor - leite die entsprechende Formel her !
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 50 Stück zwischen 3 und 8 fehlerhafte Stücke ?
c) Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 40 Stücken 5 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen ?
d) Bei einer Reklamation wird eine hochsignifikante Veränderung der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 60 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren ?

Hinweise zur Lösung

25.
Bestimme das Volumen das erzeugt wird, wenn man das Flächenstück, das durch y²=8x und x=2 begrenzt wird um die y- Achse rotiert.

Hinweise zur Lösung

26.
Ein Mann fährt 12km NO danach 20km N30"W und schließlich 18km W60"S. Bestimme wie weit und in welcher Richtung er sich vom Ausgangspunkt befindet.

Hinweise zur Lösung

27.
Erfahrungsgemäß bestehen 3/4 der Kandidaten die Reifeprüfung. Eine Maturaschule behauptet von sich, dass die von ihr betreuten Kandidaten besser seien. Zum Beweis führt sie an, dass von 90 Kandidaten nur 18 durchgefallen seien. Ist das Ergebnis glaubwürdig?
 

Hinweise zur Lösung

28.
Schon im Altertum bestimmte man durch Zeichnung die Entfernung eines Schiffes. das sich einem Hafen näherte indem man eine Standlinie s am Ufer wählte, von ihren Endpunkten das Schiff anvisierte und die Winkel zwischen Standlinie und Visierlinien bestimmte. Löse die Aufgabe durch Zeichnung und Rechnung wenn s = 1,3 km , a = 75° , ß = 56° gemessen wird.
 

Hinweise zur Lösung

29.
Von den Endpunkten einer 300 m langen Standlinie aus wird ein senkrecht über dieser befindliches Flugzeug unter den Höhenwinkeln a = 31° 50' und  ß = 27° 20' betrachtet. Bestimme seine Höhe und die Entfernungen von den Endpunkten der Standlinie.

Hinweise zur Lösung

30.
Ein Schraubbolzen soll so konstruiert werden, dass ein Schraubgang genau die Länge 20 mm haben soll. Die Festigkeit der Verschraubung ist bei größerer Oberfläche des zylindrischen Bolzens ebenfalls größer. Wie muss der Bolzen für einen Schraubgang dimensioniert werden, damit die Oberfläche maximal wird ? Löse auch grafisch !

Hinweise zur Lösung: rp/Aufgaben/kern_30.dfw

31.
Es sei . Zeige: Zu    Ermittle .

Stelle die Folge grafisch dar und definiere den Grenzwertbegriff. Gib eine Beispiel für eine nicht konvergente Zahlenfolge an.
zeige den Unterschied zwischen Häufungswert und Grenzwert an einem selbst gewählten Beispiel.

Hinweise zur Lösung

32.
Welche Form muss man einer Konservendose von 1 1 Inhalt geben, damit möglichst wenig Material verbraucht wird? Vergleiche das Ergebnis mit der handelsüblichen Form! Erkläre die Abweichung.

Löse dieselbe Aufgabe mit folgenden Voraussetzungen (jede ergibt eine neue Aufgabe!):

a) Zu den Sollmaßen kommt noch ein 5 mm breiter Rand zum Umbördeln.
b) Die Deckel werden aus quadratischen Blechen ausgestanzt. Die wegfallenden Teile sind Abfall. Berücksichtige auch die Zugabe für das Umbördeln!
c) Nimm an, dass die Deckel aus regelmäßigen Sechsecken herausgestanzt werden. Vergleiche diese Ergebnisse mit den wirklichen Maßen. Vergleiche dies mit Aufgabe 21.

Hinweise zur Lösung

33.
Auf zwei sich rechtwinklig schneidenden Geraden rollen zwei Kugeln mit den Beschleunigungen b1= 0,12 m/sec² und b2=0,05 m/sec² nach dem Schnittpunkt S der beiden Geraden hin. Die erste Kugel ist beim gleichzeitigen Beginn der Bewegung a1 = 2 m, die zweite a2 = 12,1 m von S entfernt. Wann ist die Entfernung der Kugeln ein Minimum?

Hinweise zur Lösung

 34.
In einem österreichischen Dorf steht ein Haus einer 20 m hohen Kirche gegenüber. Vom Rauchfang P des Hauses sieht man die Kirchturmspitze S unter dem Höhenwinkel a = <SPM = 8,5�° und den Fußpunkt F der Kirche unter dem Tiefenwinkel β = <MPF = 2,9�°

1. Wie hoch liegt der Rauchfang P über dem Fußpunkt F der Kirche?

2. Was versteht man unter einem Höhenwinkel (Elevationswinkel)?

3. Was versteht man unter einem Tiefenwinkel (Depressionswinkel)?

4. Was versteht man unter einem Sehwinkel (Gesichtswinkel)?

Hinweise zur Lösung

 35.
In einer Buchdruckerei betragen die gesamten Herstellungskosten K(x) (DM) für x Schulbücher

a) Wie hoch sind die Herstellungskosten und der Stückpreis für eine Auflage von 1500 Büchern?
b) Wie viele Bücher kann der Verleger herstellen, wenn er 10000 DM investieren will? Welchen Stückpreis muss er berechnen, wenn er 20% Gewinn erzielen will ?
c) Die Herstellungskosten einer Ware werden durch die Kostenfunktion y=K(x) bestimmt. Der durchschnittliche Einzelpreis ist also k(x)= K(x)/x . Für welche Stückzahl ist k am kleinsten?

Hinweise zur Lösung  rp/Aufgaben/Beispiel35.dfw

36.
Eine Fabrik für Autoanhänger kann wöchentlich bis zu 15 Stück herstellen. Die Herstellungskosten (DM) für x Anhänger betragen
 
Der erzielbare Einzelverkaufspreis p(x) (DM) hängt vom Angebot ab. Durch Marktbeobachtung kann man annehmen p(x) = 2800— 160x (Nachfragefunktion p)

a) Lohnt es sich für die Fabrik, die volle Fertigungskapazität auszunutzen?
b) Für welche Stückzahlen erzielt sie einen Gewinn?
c) Die Herstellungskosten einer Ware werden durch die Kostenfunktion y=K(x) bestimmt. Der durchschnittliche Einzelpreis ist also k(x)= K(x)/x . Für welche Stückzahl ist k am kleinsten?
In der Wirtschaftslehre ergibt sich der Gewinn G(x) aus der Kostenfunktion y=K(x) und der Nachfragefunktion y= p(x) zu G(x) = xp(x) — K(x).
d) Welche Stückzahl x1 garantiert den höchsten Gewinn?
b) Welches ist der ,,beste Preis"

Hinweise zur Lösung

37.
Eine Insektenpopulation beträgt zu Beginn des Beobachtungszeitraumes 40 Individuen und einen Tag später 45 Individuen.
Die Sättigungsgrenze liegt bei 500 Individuen.

a) Beschreibe diesen Vorgang mit dem Modell des logistischen Wachstums
b) Erstelle eine Simulation des Vorgangs mittels Iteration
c) Wann gibt es 300 Individuen, wann wird das Wachstum annähernd zum Nullwachstum ?

Hinweise zur Lösung

38.
Gegeben sind 2 Ebenen:
e1: A(1,-2,0) B(3,3,6) C(-1,0,1)  e2: X=(1,-3,-2) + s(2,-5,3) + t(1,1,-2)
a) Ermittle die Gleichung der Kugel mit M=(2,1,2) die die Schnittgerade g1 von e1 und e2 zur Tangente hat.
b) Spiegle den Punkt P(2,2,0) an der Ebene e1 und zeige dass g1 und g2 ( P', Q(-2,0,5)) windschief sind.

Hinweise zur Lösung

39.
Von einem Punkt einer horizontalen Ebene aus erscheint die Spitze eines ersten Berges unter einem Höhenwinkel von 10,2°.  Die erste Bergspitze wird von einer genau dahinterliegenden zweiten Bergspitze überragt. Der zu der zweiten Spitze gemessene Höhenwinkel ist um 3,1° größer. Von einem 3 km näher beim ersten Berg liegenden Punkt erscheinen beide Gipfel in einer Linie unter einem Winkel 17,3°. Berechne die Höhe beider Berge auf Meter genau, wenn die Ebene, von der aus die Vermessung durchgeführt wurde, 357 m über dem Meeresspiegel liegt und eine Instrumentenhöhe von 1,4 m zu berücksichtigen ist. Wie groß  ist die Entfernung der beiden Gipfel in einer Karte im Maßstab 1 : 50 000

Hinweise zur Lösung

40.
Die Kurven y=4x-x² und y=x begrenzen ein Flächenstück.
Stelle beide Funktionen graphisch dar und diskutiere ihren Verlauf .
Berechne die eingeschlossene Fläche.
Bestimme das Volumen des Rotationskörpers der entsteht wenn diese Fläche um die x-Achse rotiert.

Hinweise zur Lösung

41.
Von einer Polynomfunktion 4. Grades sind folgende Angabestücke gegeben: die Doppeltangente t samt den Berührpunkten T 1 (-4/ 1), T2(4/5) sowie der Punkt P(0/6).
a) Berechne den Funktionsterm, wenn der Punkt P weggelassen wird, drücke dabei a,b,c,d durch e aus. Zeichne einige der so erhaltenen Funktionen.
b) Berechne den Funktionsterm, wenn auch der Punkt P hinzugenommen wird. Bestimme die Wendepunkte und die Wendetangenten der Funktion und zeichne sie.
c) Bestimme die Fläche zwischen der Kurve und der Doppeltangente.

Hinweise zur Lösung

42.
Die Kugel, deren Mittelpunkt in der Ebene e1: 3x-2y-2z+1=0 liegt, berührt die Ebene e2: [ A(24,7,2)  B(9,8,5)  C(4,-2,6) ] im Punkt T(x1,4,6)
Ermittle die Gleichung dieser Kugel.

Hinweise zur Lösung

43.
In einem Produktionsprozess werden Güter mit p% Ausschussanteil produziert. Vor Ankauf eines Sortiments testet der Käufer 12 Stück und akzeptiert höchstens 2 fehlerhafte,
a) Leite die Formel für die Wahrscheinlichkeitsverteilung der binomialverteilten Zufallsvariable her
b) Beschreibe die Ankaufswahrscheinlichkeit für dieses Produkt in Abhängigkeit von der Fehlerwahrscheinlichkeit p durch eine Funktion. Stelle die Funktion graphisch dar und interpretiere deren Verlauf.
c) Untersuche die Veränderung der Funktion wenn der Käufer n fehlerhafte Stücke ( n = l,..,5) akzeptiert.

Hinweise zur Lösung

44.
Untersuche die Lagebeziehung der beiden Geraden g1  und g2

auf verschiedene Arten. 

a) Bestimme den kürzesten Abstand zwischen den Geraden sowie die Gleichung der Kugel die beide Geraden berührt auf mehrere Arten.
b) Drehe die Gerade g1 um den Punkt [2,3,1] so, dass die Geraden schneidend werden. Bestimme den Schnittpunkt und die Gleichung der gemeinsamen Ebene.

Hinweise zur Lösung  rp/Aufgaben/bsp44-vektoren.dfw

45.
Gegeben sind die beiden Punkte A( 1 | −3 | −2 ) und B( 7 | −1 | 7 ).

(a) Eine durch A und B gehende Kugel hat ihr Zentrum auf der z-Achse. Bestimme Mittelpunkt und Radius der Kugel.
(b) Eine zweite Kugel hat ihr Zentrum ebenfalls auf der z-Achse. Sie hat die Gerade durch die Punkte A und B als Tangente. Wo befindet sich das Zentrum der kleinsten Kugel dieser Art.

Hinweise zur Lösung   rp/Aufgaben/Beispiel45.dfw

46.
Gegeben sind die Punkte P( 6 | 4 | 3 ), Q( 4 | −1 | 7 ), A( 6 | −5 | 3 ) und die Gerade g durch die Punkte P und Q.

(a) Es ist zu zeigen, dass der Punkt A nicht auf der Gerade g liegt.
(b) Die Ebene E enthält den Punkt A und ist senkrecht zur Geraden g. Es ist zu beweisen, dass 2x + 5y − 4z + 25 = 0 die Koordinatengleichung von E ist.'
(c) Eine zweite Ebene F ist gegeben als F: x + 3y − 2z − 7 = 0. Gesucht ist die Schnittgerade der beiden Ebenen.'
(d) Die Gerade g und die z-Achse sind windschief. Gesucht ist der kürzeste Abstand zwischen g und der z-Achse.
(e) Gesucht sind die Koordinaten jenes Punktes C, der auf g liegt und von A den kürzesten Abstand hat.
(f) Die Spitze S einer Pyramide mit der Grundfläche OAP (wobei O der Nullpunkt ist!) liegt auf der Geraden g. Bestimme die Koordinaten von S so, dass das Volumen der Pyramide 90 beträgt.

47.
Das Dreieck A( 0 | 0 | 0 ), B( 3 | 3 | 0 ) und C( 3 | 6 | −6 ) ist die Grundfläche einer (schiefen) Pyramide mit der Höhe h = 6 cm.

(a) Wie groß ist das Volumen der Pyramide?
(b) Die Spitze der Pyramide ist so zu bestimmen, dass die Seitenkante AD die Länge 6√2 hat und mit der Grundkante AB einen Winkel von 60° bildet.

Hinweise zur Lösung

48.
Gegeben ist die Ebene E: 2x − 2y − z − 12 = 0 und die Ebene F durch die drei Punkte A( 1 | 2 | 4 ), B( 2 | 2 | 6 ) und C( 3 | 5 | 2 ). Zudem bekannt ist die Gerade g durch die Punkte P( 15 | 16 | 13 ) und Q( 1 | 2 | −1 ).

(a) Zeige, dass die Ebenen E und F parallel sind.
(b) Bestimme den Abstand der beiden Ebenen.
(c) Ein von P aus Richtung Q laufender Lichtstrahl wird an der Ebene E reflektiert. In welchem Punkt trifft der reflektierte Lichtstrahl auf die Ebene F?

Hinweise zur Lösung

49.
Ein Champagnerglas hat im Querschnitt die Form einer Parabel 2. Ordnung. Das Glas hat zuoberst einen Durchmesser von 5 cm und eine Tiefe von 15 cm (vgl. Zeichnung).

(a) Bestimme die Funktionsgleichung für die Querschnittsparabel! (Tipp: Wähle den Nullpunkt im tiefsten Punkt der Parabel!)
(b) Denke dir für die folgenden Aufgaben das Glas liegend. Welche Funktion beschreibt die obere Hälfte der gekippten Querschnittsparabel?
(d) Um den Champagner zu kühlen wird in das Glas ein möglichst großer Eis-Zylinder eingelegt (...eine kulinarische Katastrophe!), der oben nicht über den Rand herausschauen soll. Berechne seine Höhe und sein Volumen.

50.
Die folgende Skizze zeigt die Kurve k mit der Gleichung y = (1 − x)√x im Intervall 0 <= x <= 1. Die Kurve k bildet zusammen mit ihrem Spiegelbild k’ eine zur x-Achse symmetrische Figur.

(a) Wie groß ist der Winkel bei der Spitze S?
(b) Welches ist die größte Breite (parallel zur y-Achse gemessen) des Tropfens?
(c) Bei der Rotation der Kurve k um die x-Achse entsteht ein 3-dimensionaler tropfenförmiger Körper. Wie groß ist sein Volumen?
(d) Diesem Körper wird ein Kreiskegel mit der Spitze im Ursprung und der Höhe h auf der x-Achse einbeschrieben (vgl. Skizze). Für welche Höhe h wird das Volumen des Kegels maximal?

Hinweise zur Lösung