Hinweise zur LösungVorarbeiten:
Folgende Zusammenfassungen über behandelte Themen sollen erstellt werden:
Alle theoretischen Sätze zur Integralrechnung ( z.B. Hauptsatz, Eigenschaften, Integrierbarkeit, .... )
Alle Integrationsmethoden
Alle mathematischen Anwendungen
Alle physikalischen Anwendungen
Weiters sind alle Aufgaben betreffs Integralrechnung aus matheweb zu bearbeiten.
Zusätzlich ist die Auseinandersetzung mit folgenden Aufgaben sinnvoll:
1.
Die Kurve f(x)= -0,5x2 + 4 schließt mit der x- Achse eine Fläche ein. Berechne diese mit einer Intervallteilung 1000.
Beschreibe die zugrunde liegende Berechnungsformel anhand einer Skizze.
Erstelle ein entsprechendes Derive Programm.
Warum muss man bei derartigen Flächenberechnungen die Nullstellen beachten ?
2.
Die zwischen 2 Kurven f(x) und g(x) liegende Fläche kann durch Näherung der Fläche unter der Kurve 
bestimmt werden.
Begründe dies und erkläre warum Nullstellen hier keine Rolle spielen . Erstelle ein entsprechendes Derive Programm das eine derartige numerische Auswertung des
Integrals durchführt. Exemplarisch sei f(x)=x² und g(x) = sin(x).
3.
Näherungselemente für Flächen können a) umschriebene Rechtecke b) eingeschriebene Rechtecke c) rechteckige Zwischenstreifen d) Trapeze sein. Für den Fall
d) kann man 2 Ansätze wählen:
| ein Sehnentrapez: |  |
ein Tangententrapez |  |
Schreibe für die Fälle a - d ein Derive Programm das den Flächeninhalt unter einer Kurve bei vorgegebener Intervallteilung n berechnet und vergleiche
die Ergebnisse mit dem exakten Wert. Verwende dazu 
4.
Begründe das Cavalierische Prinzip: Zwei F1ächenstücke deren Querschnittslinien für jedes x jeweils gleiche Länge haben, sind inhaltsgleich.
Hinweise zur Lösung
5.
Zeichne die Parabel mit der Gleichung f(x)= ( x - 1)² + 1 im Intervall [0,1] und setze die
Kurve durch Spiegelung an den Winkelhalbierenden und Koordinatenachsen zu einer in sich geschlossenen Kurve fort. Wie groß ist der Inhalt der von dieser
Kurve umrandeten FIäche ?
Hinweise zur Lösung
6.
Zeige: Der Inhalt des Parabelsegments das die x- Achse von 
abschneidet
ist 
wobei s die Länge der Sehne und
h die Höhe des Segments bedeutet ( also 2/3 der Fläche des umschriebenen Rechtecks)
7.
Gegeben sei eine Schar von Parabeln dritter Ordnung, die sämtlich durch den Punkt (3, 0) gehen und punktsymmetrisch zum Ursprung sind.
a) Welche der Parabeln mit negativer Steigung im Ursprung schließt zusammen mit der Geraden y = x eine F1äche kleinsten Inhalts ein ? Wie groß ist dieser
Inhalt?
b) Welche Gerade durch den Ursprung halbiert diese FIäche?
c) Jede Scharkurve mit negativer Steigung im Ursprung schneidet die Gerade g(x)=x im ersten Quadranten in einem Punkt (t,t). Für welchen Wert von t ist der
Inhalt der F1äche im vierten Quadranten zwischen der Kurve und der x-Achse ebenso groß wie der Inhalt der von der Kurve, der x-Achse und der Geraden x = t
begrenzten F1äche?
Hinweise zur Lösung
8.
Berechne das Volumen des Körpers mit Höhe 4 dessen Kanten von 
beschrieben werden.
9.
Die folgende Abb. zeigt den Längsschnitt durch ein Faß, dessen Boden- und Deckfläche Kreise mit dem Durchmesser 2 r sind.
Der Spunddurchmesser ist 2 R, die Faßhöhe h. Die Dauben sind Parabelbögen. Zeige, daß für das Volumen des Fasses die von J. KEPLER stammende Formel
gilt. Betrachte auch den Spezialfall R = r .
10.
Das Moment eines Bogens erhält man als Produkt: Masse des Bogens mal Abstand des Schwerpunkts von der Achse
|
Überlege wie in su53.. Die Summe der Teilmomente = Gesamtmoment! Berechne daraus die Schwerpunktskoordinaten u und v
Für ein kleines Bogenstück mit Schwerpunkt S* gilt:
|
11.
Berechne den Schwerpunkt des Bogens von y=sin(x) in [0, pi]
12.
Begründe durch Vergleich der Formel für die Mantelfläche eines Rotationskörpers mit der Formel für die Schwerpunktskoordinate v des Mantelbogens die 2.
Guldin'sche Regel:
Die Mantelfläche eines Rotationskörpers ist gleich dem Produkt aus dem erzeugendem Bogen s und dem Weg des Bogenschwerpunkts bei der Drehung.
13.
Bestimme die Mantelfläche des Körpers, der durch Drehung des Bogens der Kurve y ² = 12x in [0,3] um die y-Achse entsteht.
a) Ohne Guldin Regel
b) Mit Guldin Regel
14.
Bestimme die Mantelfläche des Körpers, der durch Drehung der Schleife der Kurve 8a ² y ² = x ² ( a ² - x ² ) um
die x -Achse entsteht.
a) Ohne Guldin Regel
b) Mit Guldin Regel
15.
Ein Kreis mit r = 4 werde um eine Achse gedreht die 6 Einheiten vom Mittelpunkt entfernt ist.
a) Berechne Volumen und Oberfläche des entstehenden Torus auf verschiedene Arten
Der Integrand wird durch Scheiben // zur x-Achse gebildet
Der Integrand wird durch Scheiben // zur y-Achse gebildet
Anwendung der Guldin Regel
b) Wie groß muß man r wählen um das Volumen zu halbieren ?
c) Wie ändert sich dabei die Oberfläche ?
wobei s die Bogenlänge ist.