1. Ein Rotationskörper entsteht, wenn die Kurve y² = k²x²(4-x) zwischen ihren 0-Stellen um die x-Achse rotiert.

a) Diskutiere den Einfluss des Parameters k auf den Verlauf der Kurve. Lege eine erklärende Skizze an oder füge einen Ausdruck bei !
b) Diskutiere den Kurvenverlauf und bestimme die größte Querschnittsfläche (Schnitt normal zur x - Achse).
c) Das Volumen eines derartigen Körpers beträgt 64/3 pi  e³ . Für welches k ist dies der Fall ?
d) Begründe die Formel für die Volumsbestimmung bei Rotationskörpern.

2. Ein Grundstück ( siehe Plan ) soll mit einem Telekabelanschluss versehen werden. Dazu wird von einer Seite des Grundstücks in E eine Abzweigung zum Punkt P des Grundstücks verlegt und dann wieder in geradliniger Fortsetzung zur anderen Grundstücksseite geführt.

a) Erstelle eine Längenfunktion, die diesen Sachverhalt in Abhängigkeit von geeigneten Parametern beschreibt.
b) Wie lang ist die kürzestmögliche Strecke EF ? Wie lauten die Randwerte des Problems ?
Wie weit von D entfernt liegt der Abzweigungspunkt E ? Wie hoch sind die Verlegekosten bei einem Preis von 3200.-S /m ?
c) Um einen alten Baumbestand zu bewahren, entschließt man sich zu einem Abzweigungspunkt G, der 7m von D entfernt ist. Um wie viel % ist der neue Kabelverlauf teurer als der optimale ?

3. Eine 20m breite Schlucht wird mittels einer Hängebrücke zwischen den Punkten A und B überquert. Dabei liegt A 2m über dem Randpunkt C der Schlucht und B 2m über dem Randpunkt D. Der Höhenunterschied zwischen den Schluchträndern sei 1m. Die Hängebrücke erreicht ihren tiefsten Punkt 10m von A entfernt und ist dort 1m unter der Höhe von A.

a) Es sei C der Ursprung eines Koordinatensystems, wobei die x- Achse der Höhe von C folge. Nähere den Verlauf der Brücke durch eine Polynomfunktion 3. Grades.
b) Bestimme den Steigungswinkel der Brücke im Punkt A und im Punkt B sowie die Stelle des größten Durchhangs.
c) Leite das Bogendifferential her und berechne die Länge der Brücke.

 4. In einem Produktionsprozess erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 6% angenommen.

a) Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt vor ?  Begründe deine Wahl und leite die notwendigen Formeln für Wahrscheinlichkeit und Verteilungsfunktion her. Implementiere die notwendigen Formeln in der verwendeten Derive Datei.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 80 Stück zwischen 5 und 10 fehlerhafte Stücke ?
c) Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 50 Stücken 8 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen ?
d) Bei einer Reklamation wird eine signifikante Veränderung der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Welches Testverfahren ist sinnvoll ? Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 80 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren ? Was bedeutet eine Veränderung der Irrtumswahrscheinlichkeit für Produzent und Konsument ?

1. ( 12 P : 3-3-3-3 )

Von einem Behälter, dessen ebene Schnitte Kreise sind ( Rotationskörper), kennt man

Durchmesser der Grundfläche 2,5 m
Durchmesser in der Höhe 1m von der Grundfläche 3 m
Fassungsvermögen 70 m³

a) Ermittle eine Näherungsfunktion für die Erzeugende des Behälters bei Rotation um y- Achse
b) Ermittle die Höhe des Behälters.
c) Welche Arbeit ist nötig um den Behälter von unten mit Wasser (1000kg/m³) zu füllen, wenn die Pumpe auf Bodenniveau des Behälters steht ?
d) Begründe das in c) verwendete Verfahren.

2. ( 9 P : 3-3-3 )

Der Marktanteil der Zahnpaste Granit liegt im Monat Jänner bei 8%.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 1200 zu gleichen Bedingungen verkauften Zahnpasten
i) mindestens 130
ii) höchstens 120
iii) zwischen 80 und 120
von der Marke Granit.
Verwende zur Lösung die Normalverteilung. Ist eine Stetigkeitskorrektur erforderlich ? Begründe!
b) Der Hersteller vermutet, dass der Name der Zahnpaste ungünstig ist und ändert diesen auf Strahlident. Eine durchgeführte Verkaufserhebung über 500 Stück ergibt nun einen Verkauf von 52 Stück Strahlident . Hat sich der Verkauf signifikant verbessert ?
c) Ab welcher Stückzahl handelt es sich um eine hochsignifikante Verbesserung ? Welche Faktoren führen zu einer Verbesserung des Absatzes ?

3. ( 15 P : 3-4,5-3,5-2-2 )

Bei medizinischen Untersuchungen werden Kontrastmittel eingesetzt die im menschlichen Körper kontinuierlich abgebaut werden.
Von einem derartigen Kontrastmittel wird 1 Stunde vor der Untersuchung eine Dosis von 10mg verabreicht. Die Menge reduziert sich kontinuierlich mit jeder Stunde um 25 %.

a) Beschreibe diesen Vorgang durch eine Differentialgleichung und zeichne das Richtungsfeld.
b) Bestimme die allgemeine Lösung mit und ohne Derive sowie die partikuläre Lösung und zeige, wie sich diese ins Richtungsfeld einfügt.
c) Welche Menge befindet sich nach 1h 42 Minuten im Körper ? Löse auch mit dem Verfahren von Euler (Startwert ) und bestimme die prozentuelle Abweichung von der exakten Lösung. Erkläre das Verfahren von Euler.
d) Zu welchem Zeitpunkt darf frühestens eine neuerliche Gabe des Kontrastmittels erfolgen, wenn eine Konzentration von 15mg im Körper keinesfalls überschritten werden darf ?
e) Bestimme die momentane Abbaurate nach 2 Stunden

4.( 12 P : 4-4-4 )
Die Serienfertigungskosten (Einheit vorgegeben) für ein technisches Bauteil können angenähert durch beschrieben werden. (x..Stückzahl, f(x)..Kosten).

Ab dem 299. Stück wird das Bauteil mit verbesserter Technologie hergestellt, wobei die Herstellungskosten nun durch beschrieben werden.

a) Diskutiere und interpretiere den Funktionsverlauf sowie die entsprechenden Definitionsmengen im Hinblick auf den zugrunde liegenden Sachverhalt. Lege eine Graphik an - Ausdruck oder Zeichnung ! Wähle eine geeignete Skalierung. Welche Faktoren nehmen auf den Funktionsverlauf Einfluss ?
b) Ab welcher Stückzahl wird das verbesserte Bauteil billiger hergestellt als das alte ?
c) Ab welcher Stückzahl wird die Einführung des verbesserten Bauteils rentabel ? Was bedeutet dies für den Hersteller?

 Rechenweg und Lösung ( Word97 download )