Stochastik

1) Bei der letzten Wahl errang die Partei X 40% der Stimmen. Ein Jahr danach berichten die Meinungsforscher, dass von 100 Personen bei einer Wahl am nächsten Sonntag 50 für die Partei X votieren würden. Teste mit (1) p = 5%, (2) a = 0 3% Irrtumswahrscheinlichkeit, dass die Partei X a) stärker, b) schwächer geworden ist!
2) Im Jahr 1988 hatte die Automarke speedy" einen Marktanteil von 20% in Österreich. Das ist dem Firmenchef zuwenig. Nach einer Werbekampagne will der Chef mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit 5% wissen, ob die Automarke 1989 am Markt (1) gewonnen, (2) verloren hat, (3) sich ihr Marktanteil verändert hat. Wie lautet die Antwort wenn von 50 befragten Autokäufern sich a) 8 b)15 für die Automarke "speedy" entschieden haben ?
3.) Angeblich benützen 30% aller Hausfrauen das Waschmittel Jumbo. In einer Umfrage geben von 100 Hausfrauen 43 an Jumbo zu benützen.
a) Ist dieses Ergebnis signifikant (hochsignifikant) besser als die Annahme ?
b) Der Hersteller nimmt nun an dass 40% der Hausfrauen Jumbo benützen. Nach einiger Zeit wird eine neue Umfrage unter 100 Hausfrauen durchgeführt wobei 27 Benutzer ermittelt werden. Ist der Absatz von Jumbo nun signifikant schlechter geworden ?
c) In einer weiteren Umfrage unter 78 Hausfrauen ermittelt man 23 Benutzer. Hat sich der Anteil der Jumbobenutzer signifikant verändert wenn man das Umfrageergebnis der letzten Umfrage zugrundelegt ?
Rechenweg und Lösung
4) Bei der Herstellung von Motorbauteilen erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 2% angenommen. Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 50 Stück zwischen 3 und 8 fehlerhafte Stücke ?
b) Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 40 Stücken 5 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen ?
c) Bei einer Reklamation wird eine hochsignifikante Veränderung der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 60 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren ?
Rechenweg und Lösung
5) In einem Produktionsprozess erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 6% angenommen.
a) Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet. Welche Wahrscheinlichkeitsverteilung liegt vor ? Begründe deine Wahl und leite die notwendigen Formeln für Wahrscheinlichkeit und Verteilungsfunktion her. Implementiere die notwendigen Formeln in der verwendeten Derive Datei.
b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 80 Stück zwischen 5 und 10 fehlerhafte Stücke ?
c) Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 50 Stücken 8 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen ?
d) Bei einer Reklamation wird eine signifikante Veränderung der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Welches Testverfahren ist sinnvoll ? Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 80 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren ? Was bedeutet eine Veränderung der Irrtumswahrscheinlichkeit für Produzent und Konsument ?
6. Der Marktanteil der Fahrradmarke Eisenhengst liegt im Monat Jänner bei 12%.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind unter 1200 zu gleichen Bedingungen verkauften Fahrrädern
i) mindestens 110
ii) höchstens 130
iii) zwischen 70 und 100
von der Marke Eisenhengst ?.
b) Der Hersteller vermutet, dass der Name der Eisenhengst ungünstig ist, und ändert diesen auf Easyrunner. Eine durchgeführte Verkaufserhebung über 500 Stück ergibt nun einen Verkauf von 112 Stück Easyrunner . Hat sich der Verkauf signifikant verbessert ?
7. In einer Fabrik werden elektronische Bauteile in 3 Schichten hergestellt. Die Frühschicht erzeugt 35% der Gesamtproduktion mit einem durchschnittlichen Ausschuss von 2%. Die Spätschicht erzeugt ebenfalls 35% der Produktion mit einem Ausschussanteil von 1.5%. Die Nachtschicht hat einen Produktionsanteil von 30% mit 6% Ausschussware. Die Produkte werden in Schachteln zu 8 Stück abgepackt."
"a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist ein zufällig gewähltes Stück fehlerhaft?"
"b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein fehlerhaftes Stück aus der Nachtschicht stammt?"
"c) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Schachtel der"
"(I) Frühschicht höchstens 1 fehlerhaftes, (II) Spätschicht mindestens 7 fehlerfreie, (III) Nachtschicht genau ein fehlerhaftes Stück enthält?"
"d) Eine Sendung enthält 50 Schachteln der Spätschicht, 30 Schachteln der Frühschicht und 25 Schachteln der Nachtschicht. Wie viele fehlerhafte Stücke sind in dieser Sendung zu erwarten?"

8.Der Marktanteil des Waschmittels "Salin" wird mit 35a angenommen.
a) Aufgrund einer Werbekampagne werden 50 Hausfrauen befragt. Von diesen geben 181 an Salin zu verwenden. Hat der Marktanteil mit 5%-iger Irrtumswahrscheinlichkeit zugenommen ?
b) Eine Konkurrenzfirma ist in Konkurs gegangen weshalb es für ein Konkurrenzprodukt von Salin Lieferschwierigkeiten gibt. Bei einer neuerlichen Befragung gaben 312 von 800 Hausfrauen an Salin zu verwenden . Hat der Marktanteil von Salin mit 5%-iger Irrtumswahrscheinlichkeit zugenommen ?
c) Eine andere Konkurrenzfirma behauptet, dass der Marktanteil von Salin im Fall b) auf keinen Fall zugenommen hat. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann sie ihre Behauptung aufrechterhalten ?
Rechenweg und Lösung

9.Bei der Herstellung von Motorbauteilen erfolgt eine regelmäßige Qualitätskontrolle. Aufgrund der letzten Stichproben wird eine durchschnittliche Fehlerquote von 2% angenommen. Es wird das Ereignis defekt bzw. nicht defekt bei zuf. Auswahl eines Stücks betrachtet.
a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man in einer Sendung von 50 Stück zwischen 3 und 8 fehlerhafte Stücke ?
b) Bei einer neuerlichen Stichprobe erhält man aus 40 Stücken 5 fehlerhafte. Mit welcher Irrtumswahrscheinlichkeit kann man von einer Zunahme der Fehlerquote sprechen ?
c) Bei einer Reklamation wird eine hochsignifikante Veränderung der Fehlerquote behauptet. Um diese Behauptung zu untersuchen führt man einen neuerlichen Test durch. Bei welcher Fehlerzahl in einer Sendung von 60 Stück kann man diese Behauptung akzeptieren ?
10. Die Gewinnchance von A gegen B im Tennisspiel sei 0,6. Die Wahrscheinlichkeit fiir B, mehr als die Hälfte der Wettkämpfe zu gewinnen ist zu bestimmen, die Zahl der Wettkämpfe ist a) 3 b)5
Die Spieler A und B nehmen an einem Turnier ( 3 Spiele ) teil.
Ausgesetzte Prämien: S 1000 bei 3 Siegen, S 500 bei 2 Siegen S 100 bei weniger als 2 Siegen Bestimme die Gewinnerwartung
L: a) 0,325 b) 0.317 A: 467,20 S B: 272,80 S

11. Eine Versicherung betrachtet eine Auswahl von 500 PKW Haftpflichtversicherten, Erfahrungsgemäß beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass ein Klient im Laufe eines Jahres Schadensfälle verursacht 0,01. Berechne die Wahrscheinlichkeit dass es in der Gruppe zu mehr als 3 Schadensfällen kommt. Berechne Erwartungswert ( m ) und Varianz ( s² ) und berechne die Wahrscheinlichkeit einer Abweichung von mehr als s vom Erwartungswert .
Pro Schadensfall entstehen Kosten von durchschnittlich 30 000 S. Wenn man mit einer Abweichung von 2s vom Erwartungswert kalkuliert und 100% für den Verwaltungsaufwand zuschlägt wie hoch ist dann eine Prämie durchschnittlich anzusetzen?
In welchem Bereich liegt die Zahl der Schadensfälle mit 98% Wahrscheinlichkeit ?
Im folgenden Jahr werden bei 1200 Versicherten a) 9 b) 21 Schadensfälle festgestellt. Kann man eine Änderung annehmen - gib eine Entscheidungsgrundlage an !
Bestimme den Ablehnungsbereich für eine hochsignifikante Zunahme bzw. Abnahme.
Rechenweg und Lösung