1.
Beim Werfen eines Würfels gewinnt der Spieler A, wenn die angegebene Gewinnregel zutrifft andernfalls der Spieler B. Ist das Spiel fair?
a) Der Würfel zeigt eine gerade Augenzahl.
b) Die Augenzahl ist größer als 4.
c) Es werden mindestens 2, höchstens aber 5 Augen geworfen.
d) Es werden mehr als 1, aber weniger als 5 Augen geworfen.

2.
In einem Verein. bestehend aus 25 Männern und 18 Frauen. soll per Losentscheid ein aus 4 Personen bestehender Vorstand ,,gewählt" werden.
a) Es sei X die Anzahl der Männer im Vorstand. Beschreibe die Verteilung der Zufallsvariablen X
durch (1) die Wahrscheinlichkeitsfunktion !Tabelle und Graph), (2) den Erwartungswert
b) Es sei Y die Anzahl der Frauen im Vorstand. Beschreibe die Verteilung der Zufallsvariablen Y durch (1) die Wahrscheinlichkeitsfunktion (Tabelle und Graph), (2) den Erwartungswert

3.
Eine Maschine produziert Werkstücke mit einem durchschnittlichen Ausschußanteil von 3%, wobei der Fehler rein zufällig auftritt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß unter einer Serie von 20 Stücken (1) kein, (2) genau ein Stück Ausschuß ist?
b) Wieviel Stück Ausschuß muß man unter 20 Stück erwarten, und um wieviel schwankt dieser Wert voraussichtlich nach oben und unten?
c) Ein ordnungsgemäß erzeugtes Stück bringt einen Gewinn von 2S, ein Stück Ausschuß einen Verlust von 5S. Mit welchem Gewinn darf man bei einer Produktion von 10 000 Stück rechnen?

4.
Einer Sendung von 400 Antriebswellen werden 40 entnommen und ihr Durchmesser geprüft. Man weiß, daß 2% der Wellen Ausschuß sind. Berechne die Wahrscheinlichkeit, daß unter den untersuchten Wellen (1) keine defekte Welle ist, (2) genau 2 defekte Wellen sind! Rechne sowohl mit der Binomialverteilung als auch mit der Hypergeometrischen Verteilung! Überprüfe die Faustregel n £ N/10 anhand der Ergebnisse!

5.
Ein Arzt behauptet, eine Methode zu besitzen, mit der er mit 80%iger Sicherheit das Geschlecht des Kindes bereits im vierten Schwangerschaftsmonat ermitteln kann. Um seine Behauptung zu testen, wird folgende Entscheidungsregel verwendet. Man läßt ihn 14 Voraussagen treffen. Wenn mindestens 11 Voraussagen sich bewahrheiten, will man seine Behauptung akzeptieren, sonst verwerfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß seine Methode verworfen wird,
a) wenn sie nicht besser als bloßes Raten ist (dh. p = 0,5)?
b) wenn sie tatsächlich funktioniert (dh. p = 0,8)?

6.
Eine Verpackungsmaschine füllt mit der Standardabweichung a) s = 2g, b) s = lg Mehlpackungen mit der Nennmasse 1000 g ab, sodaß die Massen der Packungen normalverteilt sind. Der Verpacker muß auf Grund gesetzlicher Vorschriften seinen Kunden .,garantieren", daß in höchstens 5% aller Packungen die auf der Packung angegebene Nennmasse um mehr als 39 unterschritten wird. Auf welche mittlere Masse m muß er die Maschine einstellen?

7.
In einem (bisher) schlecht geführten Betrieb mit 1000 Beschäftigten sind erfahrungsgemäß im Schnitt nur a) 70%, b) 60% der Beschäftigten ein halbe Stunde vor Betriebsschluß noch anwesend. Um diesen Mißstand dem Aufsichtsrat vorzuführen, beschließt der neue Betriebsleiter eine überraschende Betriebsbesichtigung. Welche Anzahl von (noch) Anwesenden kann der neue Betriebsleiter dem Aufsichtsrat prognostizieren, wenn er sich - zwecks Vermeidung einer Blamage - seiner Sache 95% sicher sein will?

8.
Bei der letzten Wahl errang die Partei X 44% der Stimmen. Ein Jahr danach berichten die Meinungsforscher, daß von 500 Personen bei einer Wahl ,,am nachsten Sonntag" 200 für die Partei X votieren würden. Teste mit (1) cr = 5%, (2) a = 0,3% Irrtumswahrscheinlichkeit, ob die Partei X ,.wirklich" schwächer geworden ist!

9.
Im Jahr 1988 hatte die Automarke ,,Schnaufi" einen Marktanteil von 15%. Das ist dem Firmenchef zuwenig. Nach einer Werbekampagne will der Chef mit einer Irrtumswahrscheinlichkeit von 5% wissen, ob die Automarke 1989 am Markt (1) gewinnen wird, (2) verlieren wird, (3) sich ihr Marktanteil verändern wird. Wie lautet die Antwort, wenn von 200 befragten Autokäufern sich a) 41, b) 23 für die Automarke ,,Schnaufi" entschieden haben?

10. Eine Hellseherin behauptet, mit 70%iger Sicherheit das Geschlecht des Kindes bereits im dritten Schwangerschaftsmonat vorherzusehen. Um ihre Behauptung zu testen, wird folgende Entscheidungsregel verwendet. Man läßt sie 50 Voraussagen treffen. Wenn sich mindestens 30 Voraussagen bewahrheiten, will man ihre Behauptung akzeptieren, sonst verwerfen. Berechne (1) mittels der Binomialverteilung, (2) mittels der Normalverteilung die Wahrscheinlichkeit, da8 ihre Behauptung verworfen wird,
a) wenn sie nicht besser als bloßes Raten ist (dh. p = 0,5) !
b) wenn sie tatsächlich funktioniert (dh. p = 0,7)!

11. Welche Aussage über p machen die folgenden Zeitungsmeldungen ,,wirklich", wenn man weiß, daß sie auf einer Leserumfrage beruht, deren Umfang jedoch nicht angegeben ist? Berechne das 95%Konfidenzintervall für p unter der Annahme, daß die Punktschätzung aus einer Stichprobe vom Umfang (1) n = 50, (2) n = 100, (3) n = 200 stammt. Interpretiere anhand des Ergebnisses die Sinnhaftigkeit solcher Zeitungsmeldungen
a) Jeder dritte Autolenker fährt zu schnell.
b) 6 von 10 Jugendlichen sind fernsehsüchtig.
c) Unser Wohlstand wächst: 70% aller Familien besitzen ein Farbfernsehgerät.
d) Erfolg der Emanzipation? 55% aller Frauensind berufstätig.

12.
Ein Kilogramm Teig enthalte n Rosinen. Nach sorgfältigem Durchkneten wird er in 50g Stücke zerlegt, aus diesen Stücken werden Kuchen gebacken. Wieviele Rosinen müssen dem Teig mindestens zugesetzt werden, damit die Wahrscheinlichkeit, daß sich in jedem Kuchen mindestens eine Rosine findet, größer als 99% wird ? Erläutere die Begriffe Gegenwahrscheinlichke it und Laplace Wahrscheinlichkeit. Treffen diese Voraussetzungen wirklich zu ?

13.
Auf einen Regentag folgt mit p=0,3 ein Sonnentag, auf einen Sonnentag mit p=0,25 ein Regentag. Heute ist ein Regentag. Wie wahrscheinlich ist es, daß (a) morgen, (b) übermorgen (c) überübermorgen die Sonne wieder scheint ? Zeige den Einsatz graphischer Darstellungen beim Erfassen eines Experiments. Erkläre Summen u. Multiplikationssatz in logischer und mengentheoretischer Entsprechung.

14.
Ein Zollhund der auf Rauschgift abgerichtet ist, soll jedesmal bellen, wenn er Rauschgift riecht. Wird er bei der Kontrolle eines Reisenden eingesetzt, so weiß man, daß er mit 95% Sicherheit bellt, falls ein Dealer kontrolliert wird. Allerdings bellt er erfahrungsgemäß auch in 5% der Fälle in denen kein Rauschgift geschmuggelt wird. Schließlich ist noch bekannt, daß etwa einer von 1000 Reisenden Rauschgift bei sich hat. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß bei der Kontrolle eines Reisenden der Hund bellt ? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß ein Reisender, bei dessen Kontrolle der Hund belit, tatsächlich ein Dealer ist ? Warum ist die gegenteilige Wahrscheinlichkeit flür den Zoll nicht von Interesse ?

15.
Erkläre die Verallgemeinerung des Erwartungswertes auf stetige Zufallsvariable :

und zeige dann E(X)+E(Y)=E(X+Y) und E(aX)= aE(X).

In jeder der 10 Koben eines Schweinestalls stehen 5 Schweine. Es besteht der Verdacht, daß einige der Tiere an einer seltenen (p=0,06), nicht übertragbaren Krankheit leiden, die durch einen Bluttest nachgewiesen werden kann. Der Tierarzt will bei jedem Schwein einen solchen Bluttest durchführen. Pro Bluttest will er ein Honorar von S 100 verlangen, insgesamt also S 5000 . Dies ist dem Bauern zuviel, und er überlegt ob er billiger davonkommen könne;durch eine Änderung des Verfahrens vielleicht. Er schlägt folgendes Verfahren vor: Der Veterinär soll den 5 Tieren eines Kobens entnommene Blut mischen und erst dann den Test durchführen. Nur wenn dann das Ergebnis positiv ist, soll das Blut jedes einzelnen Schweins in diesem Koben untersucht werden. Ist dieses Verfahren billiger ?

16.
Bei einem Test werden den Probanden 9 Multiple Choice Fragen mit je 3 Antwortmöglichkeiten vorgelegt. Der Test gilt als bestanden, wenn je mindestens 5 Fragen richtig beantwortet sind. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht ein Proband den Test durch zufälliges Ankreuzen ? Bestimme Erwartungswert und Streuung. Beurteile den Test auf seine Aussagekraft ! Leite die Formel für die binomialverteilte Zufallsvariable her.

17.
Die Dichtefunktion der normalverteilten Zufallsvariablen. Definition und Eigenschaften. Beschreibe den Übergang zur standardisierten Dichtefunktion. Welchen Einfluß haben die Parameter m und s auf die Gestalt der Funktion ( ev. Nachweis) .
Der IQ einer bestimmten Bevölkerungsschicht sei 100,15 normalverteilt. Der Klub 10 % möchte nur Menschen aufnehmen die zu den 10% der intelligentesten Menschen zählen. Wie muß die Aufnahmsgrenze für einen Intelligenztest angesetzt werden, damit nur diese 10% den Test mit der entsprechenden Grenze bestehen ?