Verbesserung der 2. Schularbeit

1.

Die Kurve schließt mit den Achsen im 1. Quadranten eine Fläche von 64/3 ein.

a) Berechne a und diskutiere den Kurvenverlauf erstelle eine Grafik der Kurve. ( Notlösung  a = 4 )

b) Berechne den Schwerpunkt dieses Flächenstücks. Begründe die Schwerpunktsformeln.

Die Summe der Teilmomente = Gesamtmoment :

c) Ermittle das Volumen des Rotationskörpers der entsteht, wenn dieses Flächenstück um die x-Achse rotiert.

2.

Die Kurven schließen eine Fläche ein.

a) Berechne den Inhalt dieser Fläche

b) Berechne das Trägheitsmoment dieser Fläche bezüglich der y-Achse

3.

Von einem Behälter mit Fassungsvermögen 50 m³,  dessen ebene Schnitte Kreise sind ( Rotationskörper), kennt man
Durchmesser der Grundfläche  1,5 m
Durchmesser in der Höhe 1m      2 m

a) Ermittle eine Näherungsfunktion für die Erzeugende des Behälters

Wir legen die Achsen so, daß der Boden auf der x- Achse liegt und die y- Achse die Drehachse ist.

Wir kennen dann P (0,75/0) und Q(1/1). Die Erzeugende kann mit y=ax²+b genähert werden.

b) Ermittle die Höhe des Behälters

c) Welche Arbeit ist nötig um den Behälter von unten zu füllen ?

Jede Scheibe mit Volumen dV muß auf Höhe y gehoben werden => dW=9810.y.dV

4.

a) Die Grundfläche eines Körpers sei eine Ellipse mit a= 5 dm und b= 3dm.   Jeder senkrechte Schnitt normal zur Hauptachse ergibt einen Halbkreis.   Berechne das Volumen dieses Körpers.

b) Die Parabel und die x- Achse schließen eine Fläche ein. Diese Fläche werde vollständig in Wasser getaucht ( x - Achse = Wasseroberfläche ) Welche Kraft wirkt auf diese Fläche ?

c) Wie groß ist der Umfang dieser Fläche ?

Z

Ein elliptischer Torus entsteht wenn die Ellipse a=3  b=2 um eine Achse   die parallel zu b im Abstand 6 zu M liegt, rotiert.  Berechne das Volumen mit und ohne Guldin Regel. Die Ellipse mit Mittelpunkt M(m,n) hat die Gleichung

Mit der Guldin Regel:

Mit Integral: Wir legen eine Ellipse mit M(-6/0) und summieren dann alle Hohlzylinder in [-9,-3]. Für jeden Hohlzylinder gilt :

. Dabei ist x der Mittelkreisradius der Basis und 2y die Höhe.