Lehrstoff

Differential und Integralrechnung mit Anwendungen

Siehe auch Maturaaufgaben zum Thema !

Lehrstoff und Übungssammlung für die Reifeprüfung

1.
Wird ein Rechteck mit Breite dx und Höhe y um eine Achse gedreht, die parallel zu y verläuft und deren Abstand zum Mittelpunkt der Seite dx gleich a ist, so entsteht ein Hohlzylinder.

Beweise: Das Volumen dieses Hohlzylinders ist

2.
Bestimme durch Summation von Hohlzylindern ( Aufg. 1 !) folgend Volumina:

a) Die von y² = 8x und x = 2 begrenzte Fläche rotiert um x = 2.

b) Der Kreis x²+y² = 4 rotiert um x = 3 ( Torus ).

c) Die von y = -x²-3x+6 und x + y = 3 begrenzte Fläche dreht um x = 3.

L: a) 256pi/15 b)24pi² c)256pi/3

3. Berechne die Fläche die von umschlossen wird ! L: 4/3

4. Untersuche die Kurve . Bestimme den Flächeninhalt der Schleife ! L:4096/105

5. Ein Körper hat als Grundfläche einen Kreis( r=4). Bestimme sein Volumen, wenn jeder ebene Schnitt senkrecht zu einem festen Durchmesser ein gleichseitiges Dreieck ergibt. L : 147,8

6. Ein Wasserbehälter hat als Erzeugende eine Parabel y=ax²+b. Sein Bodendurchmesser sei 2m und liege 2m über dem Erdboden. Sein Durchmesser in 3m Höhe beträgt 2,5m. Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt 100hl.

a) Bestimme die Höhe des Behälters. L:2.027 m

b) Bestimme die Arbeit die erforderlich ist um den Behälter von unten mit Wasser zu füllen.

L:95852,3 J

7. Für die Gravitationskraft der Erde auf einen Körper der auf der Erdoberfläche die Masse M hat gilt: G(x)=M R²/x² ( R.. Erdradius, x .. Entfernung vom Erdmittelpunkt )

a) Welche Arbeit muß verrichtet werden, um einen Körper mit Masse 2kg in die 5-fache Entfernung vom Erdmittelpunkt zu bringen ? L:10000000 J

b) Welche Arbeit muß verrichtet werden um diesen Körper aus dem Schwerefeld der Erde zu bringen ? L: 13000000 J

8. Ein Behälter mit Höhe 15 dm hat als Grundfläche und Querschnitt eine Ellipse mit a=5dm und b=3dm ( elliptischer Zylinder )

a) Berechne sein Volumen .

b) Der Behälter wird von unten mit Wasser gefüllt. Berechne die dafür notwendige Arbeit

c) Der Behälter sei halb gefüllt. Berechne die Kraft die auf das untere Ende wirkt, wenn der Behälter umgelegt wird.