Arbeitsaufgaben für  die 3. Schularbeit  ( und  Reifeprüfung )

Alle Aufgaben aus der Übungssammlung zur Reifeprüfung.

Anleitungen und Lösungen
1.
Weil das Grundstück ABCD, das längs AB von einer Straße und längs AD von einem bereits bestehenden Zaun begrenzt wird, als Baugrund ungeeignet erscheint trifft der Besitzer mit seinen Nachbarn folgcndes Ubereinkommen :  Punkt B darf entlang der Straße und Punkt D entlang der Verlängerung des Zaunes soweit verschoben werden, bis ein flächengleiches Rechteck entsteht
Wie ist das Rechteck zu dimensionieren, damit die Kosten für die noch zu errichtenden drei Zäune möglichst gering ausfallen ? (Entlang der Straße wird kein Zaun errichtet!)

AB = 63,3 m AD = 15 m  BC = 62 m  <)DAB=90°  <) ABC = 115,6°

2.

65% der Bevölkerung eines Landes habe Englischkenntnisse.
a) In einem Saal sind 25 zufällig ausgewählte Leute. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, daß 20 davon Englischkenntnisse haben ? - Was heißt " zufällig ausgewählt" ?
b) Wieviele zufällig ausgewählte Leute müssen beisammen sein, damit die Wahrscheinlichkeit, dass jemand ohne Englischkenntnisse dabei ist, größer als 0,999 ist ?
c) Ab wievielen leuten kann man mit 90% Sicherheit sagen, dass zumindest 1000 mit Englischkenntnissen dabei sind?

3.

Der Verstärkungsfaktor eines bestimmten Transistortyps sei normalverteilt mit m= 100 und s= 40. Berechne die Wahrscheinlichkeit für einen zufällig ausgewählten Transistor , dass
a) der Verstärkungsfaktor mind. 80 beträgt
b) der Verstärkungsfaktor mind. 70 aber höchstens 120 beträgt
c) welche Toleranzgrenzen muß man setzen wenn man höchstens 80% als Ausschuß deklarieren will ?

4.

Eine Spraydose hat die Form eines Drehzylinders mit aufgesetzter halbkugel. Der Boden ist eine nach innen gewölbte Halbkugel.
a) Bestimme Höhe und Durchmesser der Dose so, dass bei vorgegebenem Volumen V die Oberfläche minimal wird. ( V= 330 cm³ )
b) Berechne die Masse der leeren Dose, wenn diese aus 0,8 mm dickem Aluminiumblech ( 2,7kg/cm³ ) gefertigt wird.

5.

Eine Sanduhr habe die Form eines Rotationskörpers, der durch Drehung der Sinuskurve im Intervall [-pi/2,pi/2] um die 1. Achse entsteht.
Enn aller Sand durchgelaufen ist, ist der untere Teil genau halbhoch gefüllt. Berechne auf 2 Dezimalen genau, wie hoch der Sand unmittelbar nach dem Umdrehen der Uhr in der oberen Hälfte steht.

6.

Ein Becher hat die Gestalt eines halben einschaligen Dreh-Hyperboloids, dessen Basisdurchmesser d=6cm, dessen Höhe cm und dessen oberer Durchmesser D= 12 cm beträgt. In ihm befindet sich eine Flüssigkeit. bei der Rotation des Bechers um seine Achse bildet die Flüssigkeitsoberfläche ein Drehparaboloid, das durch Rotation der Parabel mit der Gleichung x²=4y - 7 entsteht.
Berechne die Flüssigkeitsmenge - wie hoch steht die Flüssigkeit im ruhenden Zustand ?

7.

Ein Flugzeug befindet sich im Landeanflug längs einer Geraden, die um 16° gegen die horizontale Landeebene geneigt ist. Von einem Punkt A der Landebahn aus sieht man einen Punkt P, der in einer Vertikalebene unterhalb der Flugbahn liegt, unter dem Tiefenwinkel 33°. Nachdem das Flugzeug 1500m auf seiner Anflugbahn zum Punkt B weitergeflogen ist, mißt man von dort aus den Tiefenwinkel 46° zum Punkt P.   Berechne
a) die Flughöhe im Punkt A
b) die Entfernung des Punktes A vom Landepunkt L, wenn das Flugzeug seine Bahn beibehält;
c)die Entfernung der Punkte P und L voneinander;
d) unter welchem Tiefenwinkel man von A aus den Halbierungspunkt H der Strecke PL erblickt !

8.

In einem Zimmer mit 2 Eingängen soll das Licht von jedem Eingang ein- bzw. ausgeschaltet werden können. Zusätzlich wird noch eine dritte Taste installiert ( Kontrolltaste ). Ist die Kontrolltaste nicht gedrückt, so soll es nicht möglich sein das Licht ein- oder auszuschalten.
a) bestimme die Leitwerttabelle, die disjunktive Normalform, vereinfache die Schaltung und stelle die vereinfachte Schaltfunktion in einer Schaltskizze dar.
b) Zeige  mittels Schaltalgebra dass die Schaltfunktion zu f(a,b,c)=(ab)'.(a+b).(c+a'c) äquivalent ist.

9.

Vor einer Präsidentenwahl, bei der nur die Kanditaten A und B kanditieren, wird unter 3000 repräsentativ ausgewählten Personen eine Meinungsumfrage durchgeführt, bei der sich 1512 Personen für den Kanditaten A entscheiden. Es sei q der Anteil der Personen in der Gesamtbevölkerung, die ihre Stimme Kanditat A geben.
Berechne den Schätzbereich, in welchem q mit 99%iger Sicherheit liegt.

10.

Berechne das Volumen des abgebildeten Rotationskörpers

11.

Die Kurve mit der Gleichung y=cos 2x wird im Punkt P(pi/6;y1) von der Kurve mit der Gleichung 
y = a + b.sin(x)  berührt. Berechne den Inhalt des von den Kurven begrenzten Flächenstücks.

12.

In einer Kiste sind 5000 Spezialschrauben, in einer anderen die dazugehörenden Muttern. Der Erzeuger behauptet, dass der Ausschußanteil in jeder der beiden Kisten höchstens 10% ist. Zur Probe werden je 150 Stück entnommen und hinsichtlich des Zueinanderpassens überprüft.
Die Prüfung fällt genau dann negativ aus, wenn mind. einer der beiden Teile fehlerhaft ist.
a) Berechne die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Prüfung negativ ausfällt.
b) Formuliere eine Nullhypothese für den Test und gib den Ablehnungsbereich für eine signifikante Abweichung an. Welcher Test ist sinnvoll ?
c) Gib einen 95% Schätzbereich für die Zahl der fehlerhaften Teile an.

13.

Ein Schiff beflndet sich bezüglich des Hafens A(O/O) im Punkt B(200/300) mit Kurs auf C(240/380). Nach 1 Stunde befindet sich das Schiff wegen der Strömung jedoch in D(220/310).
a) Bestimme die Schiffsgeschwindigkeit, Zeit und Wegverlust.
b) Welchen Kurs muß das Schiff nehmen um von D nach C zu gelangen ?
c) Wie lauten die Kursgleichungen und Kursrichtungen ?
d) Wann erreicht das Schiff C ?
e) In C dreht das Schiff um -40°. Bestimme die neue Kursgleichung .
(Anl: komplexe Zahlen in Polarform ! )
f) In (600/400) befindet sich ein Leuchtturm. Kann dieser vom Schiff gesehen werden, wenn die Sichtweite 400 km beträgt?

14.

Erfahrungsgemäß ist die Wahrscheinlichkeit für Knabengeburten 0,514. In einem Krankenhaus kamen im letzten Jahr 1250 Kinder zur Welt.
a) Triff eine Aussage über die Anzahl der Knaben die zu 95% sicher ist.
b) Es wurden 682 Knaben geboren. Wie wahrscheinlich ist eine derartige Abweichung vom erwarteten Wert ?
c) Wieviel Geburten müssen erhoben werden, damit die Abweichung bei 95% Sicherheit höchstens 20 beträgt ?
d) Es wurden bei 70 Geburten 30 Knaben geboren. Mit welcher Intumswahrscheinlichkeit kann man p=0,514 verwerfen ? Welcher Test ist sinnvoll ?
e) Wann kann man von einer signifikanten Änderung bei 70 Geburten sprechen ? Teste beidseitig.
Verwende für d) und e) sowohl die Binomial ais auch die Normalverteilung.

15.

Für einen Flug stehen 270 Plätze zur Verfügung.  Da mit einer Ausfallsrate von 15% gerechnet wird wird die Maschine mit einem Risiko( = zuwenig P1ätze) von 10% überbucht. Wieviele P1ätze werden verkauft ? Welches Risiko ist realistisch ?

16.

Ein Blumenhändler benötigt 3000 Blumen. Üblicherweise sind 10% einer Lieferung unbrauchbar. Wieviele Blumen muß er bestellen, wenn er ein eigenes Risiko von 10% eingehen will ?

17.

Elektronische Bauteile werden mit  einer Fehlerquote von 2% erzeugt.
a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit daß in einer Serie von 1500 Stück die zu erwartende Anzahl fehlerhafter Stücke höchstens um 10 Stück vom zu erwartenden Wert abweicht ?
b) Es werden in einer Serie 5000 Stück erzeugt. Gib einen 95% Schätzbereich für die zu erwartende Anzahl guter Stücke an.
c) Wieviele Stück muß man erzeugen um mit 98% Sicherheit eine Abweichung von höchstens 20 vom Erwartungswert zu haben ?