Lehrstoff:   Differential und Integralrechnung mit Anwendungen

Beweise: Partielle Integration,  Bogenlänge, Guldin Regel

Manuelles integrieren: Aufgaben von su21

Übungen:

Volumsberechnungen:  292,  293,   303 - 319

V1:
Ein Körper hat als Grundfläche einen Kreis( r=4). Bestimme sein Volumen, wenn jeder ebene Schnitt senkrecht zu einem festen Durchmesser ein gleichseitiges Dreieck ergibt.
Ausführliche Lösung        L : 147,8

V2:
Konstruiere ein a) 1/8 l Weissweinglas b) 1/4 l Rotweinglass c) einen Sektkelch 0.2l d) eine Obstschale für 3 kg Obst

Verwende zum Zeichnen: [t, f(t)·COS(s), f(t)·SIN(s)]

Exemplarische Lösung für das 1/8 l Glas...

Schwerpunkte:  338 - 347

Bogenlänge: 326 - 329

Weiters:

1.
Ein Wasserbehälter hat als Erzeugende eine Parabel y=ax²+b. Sein Bodendurchmesser sei 2m und liege 2m über dem Erdboden. Sein Durchmesser in 3m Höhe beträgt 2,5m. Das Fassungsvermögen des Behälters beträgt 100hl.

a) Bestimme die Höhe des Behälters. L:2.027 m

b) Bestimme die Arbeit die erforderlich ist um den Behälter von unten mit Wasser zu füllen. 

Lösung

3.
Ein Wasserfass hat einen Basisdurchmesser von 70cm. Der Durchmesser auf halber Höhe überschreitet den Basisdurchmesser um 15%. Die Querschnittsebene auf halber Höhe ist eine Symmetrieebene des Fasses. Als Ansatz für die Erzeugende soll eine Ellipse in 2. Hauptlage gewählt werden.

a) Die Höhe des Fasses beträgt 1,2 m. Stelle das Fass und seinen Querschnitt mit DR grafisch dar und berechne den Inhalt in hl und die Oberfläche in dm².
b) Wie lang sind die Fassdauben?
c) Die Fassdauben werden durch Eisenringe gebunden. Es werden 2 Ringe verwendet. Ein Ring umfasst die Fassmitte, die beiden anderen sind je 10 cm vom Fassboden bzw. Fassdecke entfernt. Wie lang sind diese Ringe?
d) Um Warmwasser zu erzeugen wird das Fass auf ein Gestell mit günstiger Sonneneinstrahlung so plaziert, dass sich das am Boden liegende Spundloch 3 m über einer Wasserpumpe befindet. Welche Pumparbeit ist nötig um das Fass mit Wasser zu befüllen?
e) Löse die gleiche Aufgabe mit einer Parabel-Ansatzfunktion 2. Grades!

Lösung: Aufgaben 16

4.
Das Drahtseil einer Seilbahn überbrückt einen Graben von 100 m Breite bei einem Höhenunterschied von 25 m. Seine Form kann näherungsweise durch eine Polynomfunktion f vom Grad 2 beschrieben werden. Im unteren Aufhängepunkt A hat f die Steigung -1/4.

(1) Stelle eine Termdarstellung für diese Polynomfunktion auf!
(2)An welcher Stelle ist das Seil am tiefsten und wie tief ist es dort unter dem Aufhängepunkt A?
(3)Ab welcher Stelle ist das Seil mindestens so hoch wie in A?
(4)Wie groß ist das Maß des Winkels, unter dem das Seil im oberen Aufhängepunkt B zur Horizontalen geneigt ist?
(5) Der Durchmesser des Stahlseils beträgt 12 cm. Berechne das Gewicht des Stahlseils.

Lösung: Aufgaben 16

5.
Das beiliegende Bild Auffahrt Wöllersdorf.bmp zeigt die Autobahnauffahrt Wöllersdorf.

a) Erstelle eine Funktion die der Auffahrt zwischen den rot markierten Punkten folgt, zeichne diese ein und berechne die Länge.

b) Erstelle eine Funktion die der Brücke über die Autobahn zwischen den grünen Punkten folgt und berechne die Länge zwischen diesen Punkten.

Lösung: Aufgaben 16

6.
Berechne die Länge der Kaimauer im Hafen von Naxos. Verwende dazu das beiliegende Bild Naxos003.bmp. Erstelle eine Funktion die der Kaimauer folgt und zeichne diese im Bild ein.

Lösung: Aufgaben 16

7.
Die Fertigungskosten für ein technisches Bauteil können angenähert durch  f(x)=(5x+1250)/(x+20) beschrieben werden. Ab dem 54. Bauteil wird die Produktion umgestellt und ein neues Teil unter der Kostengleichung g(x)=(4x-50)/(x-50) produziert

a) Diskutiere und interpretiere den Funktionsverlauf beider Gleichungen.
b) Ab welcher Stückzahl wird der neue Bauteil billiger hergestellt als der alte?
c) Ab welcher Stückzahl wird die Einführung des neuen Bauteils rentabel?

Lösung: Aufgaben 1

8.
Zwei Fahrzeuge sind von einer Straßenkreuzung 35 bzw. 42? km entfernt. Ihre Geschwindigkeiten betragen 60 bzw. 80 km/h, ihre Entfernung voneinander beträgt 21 km.

d) Wie groß ist der Kreuzungswinkel?
b) Wann ist der Abstand der Fahrzeuge am kleinsten?
c) Wann beträgt der Abstand 15 km?
d) Stelle den Abstand als Funktion der Zeit graphisch dar und interpretiere den Verlauf der Kurve.

Lösung: Aufgaben 3

9.
Hinweise:
Aus den Geschwindigkeiten Vx und Vz kann man die resultierende Geschwindigkeit VR bestimmen, der Abflugwinkel ß kann trigonometrisch bestimmt werden.
Wurfweite: W=(v^2*sin(2*β))/g

Ein Hochspringer erreicht eine Vz von 4 m/s bei b = 48 Grad.
a) Um welchen Betrag wird der KSP angehoben?
b) Wie groß ist vx? Wie groß ist die Anlaufgeschwindigkeit als 100m Zeit?
c) Wie weit ist der Springer beim Absprung von der Latte horizontal entfernt, optimale Lattenquerung (im rechten Winkel) vorausgesetzt?
d) Der Absprungpunkt liegt in der Verlängerung der Mattenkante , wo landet der Springer bei einem horizontalem Absprungwinkel zur Verlängerung der Mattenkante 30°
Anl.: Es sei y der Abstand von der anderen Mattenkante - Mattenbreite = 4m

e) Wie lange ist der Springer in der Luft?

Lösung: Aufgaben 4

10.
Ein Becher hat die Gestalt eines halben einschaligen Dreh-Hyperboloids dessen Basisdurchmesser d=6cm, dessen Höhe h=6*√3 cm und dessen oberer Durchmesser D=12 cm beträgt. In ihm befindet sich eine Flüssigkeit. Bei der Rotation des Bechers um seine Achse bildet die Flüssigkeitsoberfläche ein Drehparaboloid, das durch Rotation der Parabel mit der Gleichung x²=4y - 7 entsteht.

Berechne die Flüssigkeitsmenge (in ml)!
Wie hoch steht die Flüssigkeit mit waagrechter Oberfläche im ruhenden Becher?

Lösung: Aufgaben 6

11.
Das Segment das die x- Achse von der Parabel y = 8 – x²  abschneidet rotiert um die y-Achse.

a) Berechne den Inhalt des Segments sowie die Länge der Erzeugenden des Rotationskörpers
b) Berechne Volumen und Oberfläche des Rotationskörpers
c) Aus dem Rotationskörper soll ein Zylinder mit größtem Volumen gefräst werden, wobei die Rotationsachse des Zylinders mit der des Paraboloids ident bleibt. Welche Masse hat der Abfall der beim Fräsvorgang entsteht ( Dichte = 2.7)

Lösung: Aufgaben 7

12.
Ein Tragflächenprofil wird im Querschnitt von der Funktion y = 4.ln(x) - 2.ln²(x) und der x-Achse (im ersten Quadranten) gebildet (sie ist also oben gekrümmt und unten vollkommen eben).

a)    Berechne die Breite und die Höhe dieser Tragfläche!
b)    Berechne die Querschnittsfläche der Tragfläche!
c)    Bestimme die Neigung (=Anstieg) der Tragfläche im linken Endpunkt durch Berechnung!
 

Lösung: Aufgaben 7